hints/assignment_7_hint_5.mdwn

   1
   2 *       How shall we handle \[[&exist;x]]? As we said, GS&V really tell us how to interpret \[[&exist;xPx]], but what they say about this breaks naturally into two pieces, such that we can represent the update of our starting set `u` with \[[&exist;xPx]] as:
   3
   4         <pre><code>u >>=<sub>set</sub> \[[&exist;x]] >>=<sub>set</sub> \[[Px]]
   5         </code></pre>
   6
   7         What does \[[&exist;x]] need to be here? Here's what they say, on the top of p. 13:
   8
   9         >       Suppose an information state `s` is updated with the sentence &exist;xPx. Possibilities in `s` in which no entity has the property P will be eliminated.
  10
  11         We can defer that to a later step, where we do `... >>= \[[Px]]`.
  12
  13         >       The referent system of the remaining possibilities will be extended with a new peg, which is associated with `x`. And for each old possibility `i` in `s`, there will be just as many extensions `i[x/d]` in the new state `s'` and there are entities `d` which in the possible world of `i` have the property P.
  14
  15         Deferring the "property P" part, this corresponds to:
  16
  17         <pre><code>u updated with \[[&exist;x]] &equiv;
  18                 let extend_one = fun (one_dpm : bool dpm) ->
  19                         List.map (fun d -> bind_dpm one_dpm (new_peg_and_assign 'x' d)) domain
  20                 in bind_set u extend_one
  21         </code></pre>
  22
  23         where `new_peg_and_assign` is the operation we defined in [hint 3](/hints/assignment_7_hint_3):
  24
  25                 let new_peg_and_assign (var_to_bind : char) (d : entity) =
  26                         (* we want to return not a function that we can bind to a bool dpm *)
  27                         fun (truth_value : bool) : bool dpm ->
  28                                 fun ((r, h) : assignment * store) ->
  29                                         (* first we calculate an unused index *)
  30                                         let new_index = List.length h
  31                                         (* next we store d at h[new_index], which is at the very end of h *)
  32                                         (* the following line achieves that in a simple but inefficient way *)
  33                                         in let h' = List.append h [d]
  34                                         (* next we assign 'x' to location new_index *)
  35                                         in let r' = fun var ->
  36                                                 if var = var_to_bind then new_index else r var
  37                                         (* we pass through the same truth_value that we started with *)
  38                                         in (truth_value, r', h')
  39
  40         What's going on in this representation of `u` updated with \[[&exist;x]]? For each `bool dpm` in `u`, we collect `dpm`s that are the result of passing through their `bool`, but extending their input `(r, h)` by allocating a new peg for entity `d`, for each `d` in our whole domain of entities, and binding the variable `x` to the index of that peg.
  41
  42         A later step can then filter out all the `dpm`s according to which the entity `d` we did that with doesn't have property P.
  43
  44         So if we just call the function `extend_one` defined above \[[&exist;x]], then `u` updated with \[[&exist;x]] updated with \[[Px]] is just:
  45
  46         <pre><code>u >>= \[[&exist;x]] >>= \[[Px]]
  47         </code></pre>
  48
  49         or, being explicit about which "bind" operation we're representing here with `>>=`, that is:
  50
  51         <pre><code>bind_set (bind_set u \[[&exist;x]]) \[[Px]]
  52         </code></pre>
  53
  54 *       Let's compare this to what \[[&exist;xPx]] would look like on a non-dynamic semantics, for example, where we use a simple reader monad to implement variable binding. Reminding ourselves, we'd be working in a framework like this. (Here we implement environments or assignments as functions from variables to entities, instead of as lists of pairs of variables and entities. An assignment `r` here is what `fun c -> List.assoc c r` would have been in [week6](
  55 /reader_monad_for_variable_binding).)
  56
  57                 type assignment = char -> entity;;
  58                 type 'a reader = assignment -> 'a;;
  59
  60                 let unit_reader (x : 'a) = fun r -> x;;
  61
  62                 let bind_reader (u : 'a reader) (f : 'a -> 'b reader) =
  63                         fun r ->
  64                                 let a = u r
  65                                 in let u' = f a
  66                                 in u' r;;
  67
  68                 let getx = fun r -> r 'x';;
  69
  70                 let lift (predicate : entity -> bool) =
  71                         fun entity_reader ->
  72                                 fun r ->
  73                                         let obj = entity_reader r
  74                                         in unit_reader (predicate obj)
  75
  76         `lift predicate` converts a function of type `entity -> bool` into one of type `entity reader -> bool reader`. The meaning of \[[Qx]] would then be:
  77
  78         <pre><code>\[[Q]] &equiv; lift q
  79         \[[x]] & equiv; getx
  80         \[[Qx]] &equiv; \[[Q]] \[[x]] &equiv;
  81                 fun r ->
  82                         let obj = getx r
  83                         in unit_reader (q obj)
  84         </code></pre>
  85
  86         Recall also how we defined \[[lambda x]], or as [we called it before](/reader_monad_for_variable_binding), \\[[who(x)]]:
  87
  88                 let shift (var_to_bind : char) entity_reader (v : 'a reader) =
  89                 fun (r : assignment) ->
  90                         let new_value = entity_reader r
  91                         (* remember here we're implementing assignments as functions rather than as lists of pairs *)
  92                         in let r' = fun var -> if var = var_to_bind then new_value else r var
  93                         in v r'
  94
  95         Now, how would we implement quantifiers in this setting? I'll assume we have a function `exists` of type `(entity -> bool) -> bool`. That is, it accepts a predicate as argument and returns `true` if any element in the domain satisfies that predicate. We could implement the reader-monad version of that like this:
  96
  97                 fun (lifted_predicate : entity reader -> bool reader) : bool reader ->
  98                         fun r -> exists (fun (obj : entity) -> lifted_predicate (unit_reader obj) r)
  99
 100         That would be the meaning of \[[&exist;]], which we'd use like this:
 101
 102         <pre><code>\[[&exist;]] \[[Q]]
 103         </code></pre>
 104
 105         or this:
 106
 107         <pre><code>\[[&exist;]] ( \[[lambda x]] \[[Qx]] )
 108         </code></pre>
 109
 110         If we wanted to compose \[[&exist;]] with \[[lambda x]], we'd get:
 111
 112                 let shift var_to_bind entity_reader v =
 113                         fun r ->
 114                                 let new_value = entity_reader r
 115                                 in let r' = fun var -> if var = var_to_bind then new_value else r var
 116                                 in v r'
 117                 in let lifted_exists =
 118                         fun lifted_predicate ->
 119                                 fun r -> exists (fun obj -> lifted_predicate (unit_reader obj) r)
 120                 in fun bool_reader -> lifted_exists (shift 'x' getx bool_reader)
 121
 122         which we can simplify to:
 123
 124                 let shifted v =
 125                         fun r ->
 126                                 let new_value = r 'x'
 127                                 in let r' = fun var -> if var = 'x' then new_value else r var
 128                                 in v r'
 129                 in let lifted_exists =
 130                         fun lifted_predicate ->
 131                                 fun r -> exists (fun obj -> lifted_predicate (unit_reader obj) r)
 132                 in fun bool_reader -> lifted_exists (shifted bool_reader)
 133
 134         and simplifying further:
 135
 136                 fun bool_reader ->
 137                         let shifted v =
 138                                 fun r ->
 139                                         let new_value = r 'x'
 140                                         in let r' = fun var -> if var = 'x' then new_value else r var
 141                                         in v r'
 142                         let lifted_predicate = shifted bool_reader
 143                         in fun r -> exists (fun obj -> lifted_predicate (unit_reader obj) r)
 144
 145                 fun bool_reader ->
 146                         let lifted_predicate = fun r ->
 147                                         let new_value = r 'x'
 148                                         in let r' = fun var -> if var = 'x' then new_value else r var
 149                                         in bool_reader r'
 150                         in fun r -> exists (fun obj -> lifted_predicate (unit_reader obj) r)
 151
 152
 153 *       Can you figure out how to handle \[[not &phi;]] on your own? If not, here are some [more hints](/hints/assignment_7_hint_6). But try to get as far as you can on your own.