hints/assignment_7_hint_3.mdwn

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   2 *       In def 2.5, they say the denotation of an e-type constant <code>&alpha;</code> wrt a discourse possibility `(r, g, w)` is whatever object the world `w` associates with <code>&alpha;</code>. Since we don't have worlds, this will just be an object.
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   4 *       They say the denotation of a predicate is whatever extension the world `w` associates with the predicate. Since we don't have worlds, this will just be an extension.
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   6 *       They say the denotation of a variable is the object which the store `g` assigns to the index that the assignment function `r` assigns to the variable. In other words, if the variable is `'x'`, its denotation wrt `(r, g, w)` is `g[r['x']]`.
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   8 We're going to keep all of that, except dropping the worlds. And instead of talking about
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  10 >       \[[expression]] in possibility `(r, g, w)`
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  12 we'll just talk about \[[expression]] and let that be a monadic object, implemented in part by a function that takes `(r, g)` as an argument.
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  14 More specifically, \[[expression]] will be a set of `'a discourse_possibility` monads, where `'a` is the appropriate type for *expression*, and the discourse possibility monads are themselves state monads where `(r, g)` is the state that gets updated. Those are implemented as functions from `(r, g)` to `(a, r', g')`, where `a` is a value of type `'a`, and `r', g'` are possibly altered assignment functions and stores.
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  16 *       In def 2.7, GS&V talk about an operation that takes an existing set of discourse possibilities, and extends each member in the set by allocating a new location in the store, and assigning a variable `'x'` to that location, which holds some object `d` from the domain. It will be useful to have a shorthand way of referring to this operation:
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  18                 let newpeg_and_bind (bound_variable : char) (d : entity) =
  19                         fun ((r, g) : assignment * store) ->
  20                                 let newindex = List.length g
  21                                 (* first we store d at index newindex in g, which is at the very end *)
  22                                 (* the following line achieves that in a simple but very inefficient way *)
  23                                 in let g' = List.append g [d]
  24                                 (* next we assign 'x' to location newindex *)
  25                                 in let r' = fun v ->
  26                                         if v = bound_variable then newindex else r v
  27                                 in (r',g')
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  29 *       At the top of p. 13 (this is in between defs 2.8 and 2.9), GS&V give two examples, one for \[[&exist;xPx]] and the other for \[[Qx]]. In fact it will be easiest for us to break \[[&exist;xPx]] into two pieces, \[[&exist;x]] and \[[Px]]. Let's consider expressions like \[[Px]]  first.
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  31         They say that the effect of updating an information state `s` with the meaning of "Qx" should be to eliminate possibilities in which the object associated with the peg associated with the variable `x` does not have the property Q. In other words, if we let `Q` be a function from objects to `bool`s, `s` updated with \[[Qx]] should be `s` filtered by the function `fun (r, g) -> let obj = List.nth g (r 'x') in Q obj`. When `...Q obj` evaluates to `true`, that `(r, g)` pair is retained, else it is discarded.
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  33         Recall that [we said before](/hints/assignment_7_hint_2) that `List.filter (test : 'a -> bool) (u : 'a set) : 'a set` is the same as:
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  35                 bind_set u (fun a -> if test a then unit_set a else empty_set)
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  37         Hence, updating `s` with \[[Qx]] should be:
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  39                 bind_set s (fun (r, g) -> if (let obj = List.nth g (r 'x') in Q obj) then unit_set (r, g) else empty_set)
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  41         We can call the `(fun (r, g) -> ...)` part \[[Qx]] and then updating `s` with \[[Qx]] will be:
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  43                 bind_set s \[[Qx]]
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  45         or as it's written using Haskell's infix notation for bind:
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  47                 s >>= \[[Qx]]
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  49 *       Now how shall we handle \[[&exist;x]]. As we said, GS&V really tell us how to interpret \[[&exist;xPx]], but what they say about this breaks naturally into two pieces, such that we can represent the update of `s` with \[[&exist;xPx]] as:
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  51         <pre><code>s >>= \[[&exist;x]] >>= \[[Px]]
  52         </code></pre>
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  54         What does \[[&exist;x]] need to be here? Here's what they say, on the top of p. 13:
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  56         >       Suppose an information state `s` is updated with the sentence &exist;xPx. Possibilities in `s` in which no object has the property P will be eliminated.
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  58         We can defer that to a later step, where we do `... >>= \[[Px]]`.
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  60         >       The referent system of the remaining possibilities will be extended with a new peg, which is associated with `x`. And for each old possibility `i` in `s`, there will be just as many extensions `i[x/d]` in the new state `s'` and there are objects `d` which in the possible world of `i` have the property P.
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  62         Deferring the "property P" part, this says:
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  64         <pre><code>s updated with \[[&exist;x]] &equiv;
  65                 s >>= (fun (r, g) -> List.map (fun d -> newpeg_and_bind 'x' d) domain)
  66         </code></pre>
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  68         That is, for each pair `(r, g)` in `s`, we collect the result of extending `(r, g)` by allocating a new peg for object `d`, for each `d` in our whole domain of objects (here designated `domain`), and binding the variable `x` to the index of that peg.
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  70         A later step can then filter out all the possibilities in which the object `d` we did that with doesn't have property P.
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  72         So if we just call the function `(fun (r, g) -> ...)` above \[[&exist;x]], then `s` updated with \[[&exist;x]] updated with \[[Px]] is just:
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  74         <pre><code>s >>= \[[&exist;x]] >>= \[[Px]]
  75         </code></pre>
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  77         or, being explicit about which "bind" operation we're representing here with `>>=`, that is:
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  79         <pre><code>bind_set (bind_set s \[[&exist;x]]) \[[Px]]
  80         </code></pre>
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  82 *       In def 3.1 on p. 14, GS&V define `s` updated with \[[not &phi;]] as:
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  84         >       { i &elem; s | i does not subsist in s[&phi;] }
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  86         where `i` *subsists* in <code>s[&phi;]</code> if there are any `i'` that *extend* `i` in <code>s[&phi;]</code>.
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  88         Here's how we can represent that:
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  90                 <pre><code>bind_set s (fun (r, g) ->
  91                         let u = unit_set (r, g)
  92                         in let descendents = u >>= \[[&phi;]]
  93                         in if descendents = empty_set then u else empty_set
  94                 </code></pre>
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