from_lists_to_continuations.mdwn

   1 Refunctionalizing zippers: from lists to continuations
   2 ------------------------------------------------------
   3
   4 If zippers are continuations reified (defuntionalized), then one route
   5 to continuations is to re-functionalize a zipper.  Then the
   6 concreteness and understandability of the zipper provides a way of
   7 understanding and equivalent treatment using continuations.
   8
   9 Let's work with lists of `char`s for a change.  To maximize readability, we'll
  10 indulge in an abbreviatory convention that "abSd" abbreviates the
  11 list `['a'; 'b'; 'S'; 'd']`.
  12
  13 We will set out to compute a deceptively simple-seeming **task: given a
  14 string, replace each occurrence of 'S' in that string with a copy of
  15 the string up to that point.**
  16
  17 We'll define a function `t` (for "task") that maps strings to their
  18 updated version.
  19
  20 Expected behavior:
  21
  22         t "abSd" ~~> "ababd"
  23
  24
  25 In linguistic terms, this is a kind of anaphora
  26 resolution, where `'S'` is functioning like an anaphoric element, and
  27 the preceding string portion is the antecedent.
  28
  29 This deceptively simple task gives rise to some mind-bending complexity.
  30 Note that it matters which 'S' you target first (the position of the *
  31 indicates the targeted 'S'):
  32
  33             t "aSbS"
  34                 *
  35         ~~> t "aabS"
  36                   *
  37         ~~> "aabaab"
  38
  39 versus
  40
  41             t "aSbS"
  42                   *
  43         ~~> t "aSbaSb"
  44                 *
  45         ~~> t "aabaSb"
  46                    *
  47         ~~> "aabaaabab"
  48
  49 versus
  50
  51             t "aSbS"
  52                   *
  53         ~~> t "aSbaSb"
  54                    *
  55         ~~> t "aSbaaSbab"
  56                     *
  57         ~~> t "aSbaaaSbaabab"
  58                      *
  59         ~~> ...
  60
  61 Aparently, this task, as simple as it is, is a form of computation,
  62 and the order in which the `'S'`s get evaluated can lead to divergent
  63 behavior.
  64
  65 For now, we'll agree to always evaluate the leftmost `'S'`, which
  66 guarantees termination, and a final string without any `'S'` in it.
  67
  68 This is a task well-suited to using a zipper.  We'll define a function
  69 `tz` (for task with zippers), which accomplishes the task by mapping a
  70 `char list zipper` to a `char list`.  We'll call the two parts of the
  71 zipper `unzipped` and `zipped`; we start with a fully zipped list, and
  72 move elements to the zipped part by pulling the zipper down until the
  73 entire list has been unzipped (and so the zipped half of the zipper is empty).
  74
  75         type 'a list_zipper = ('a list) * ('a list);;
  76
  77         let rec tz (z:char list_zipper) =
  78             match z with (unzipped, []) -> List.rev(unzipped) (* Done! *)
  79                        | (unzipped, 'S'::zipped) -> tz ((List.append unzipped unzipped), zipped)
  80                        | (unzipped, target::zipped) -> tz (target::unzipped, zipped);; (* Pull zipper *)
  81
  82         # tz ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd']);;
  83         - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
  84
  85         # tz ([], ['a'; 'S'; 'b'; 'S']);;
  86         - : char list = ['a'; 'a'; 'b'; 'a'; 'a'; 'b']
  87
  88 Note that this implementation enforces the evaluate-leftmost rule.
  89 Task completed.
  90
  91 One way to see exactly what is going on is to watch the zipper in
  92 action by tracing the execution of `tz`.  By using the `#trace`
  93 directive in the Ocaml interpreter, the system will print out the
  94 arguments to `tz` each time it is (recurcively) called.  Note that the
  95 lines with left-facing arrows (`<--`) show (recursive) calls to `tz`,
  96 giving the value of its argument (a zipper), and the lines with
  97 right-facing arrows (`-->`) show the output of each recursive call, a
  98 simple list.
  99
 100 <pre>
 101 # #trace tz;;
 102 t1 is now traced.
 103 # tz ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd']);;
 104 tz <-- ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd'])
 105 tz <-- (['a'], ['b'; 'S'; 'd'])         (* Pull zipper *)
 106 tz <-- (['b'; 'a'], ['S'; 'd'])         (* Pull zipper *)
 107 tz <-- (['b'; 'a'; 'b'; 'a'], ['d'])    (* Special step *)
 108 tz <-- (['d'; 'b'; 'a'; 'b'; 'a'], [])  (* Pull zipper *)
 109 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']        (* Output reversed *)
 110 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
 111 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
 112 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
 113 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
 114 - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
 115 </pre>
 116
 117 The nice thing about computations involving lists is that it's so easy
 118 to visualize them as a data structure.  Eventually, we want to get to
 119 a place where we can talk about more abstract computations.  In order
 120 to get there, we'll first do the exact same thing we just did with
 121 concrete zipper using procedures.
 122
 123 Think of a list as a procedural recipe: `['a'; 'b'; 'S'; 'd']`
 124 is the result of the computation `'a'::('b'::('S'::('d'::[])))` (or, in our old
 125 style, `make_list 'a' (make_list 'b' (make_list 'S' (make_list 'd' empty)))`).
 126 The recipe for constructing the list goes like this:
 127
 128 <pre>
 129 (0)  Start with the empty list []
 130 (1)  make a new list whose first element is 'd' and whose tail is the list constructed in step (0)
 131 (2)  make a new list whose first element is 'S' and whose tail is the list constructed in step (1)
 132 -----------------------------------------
 133 (3)  make a new list whose first element is 'b' and whose tail is the list constructed in step (2)
 134 (4)  make a new list whose first element is 'a' and whose tail is the list constructed in step (3)
 135 </pre>
 136
 137 What is the type of each of these steps?  Well, it will be a function
 138 from the result of the previous step (a list) to a new list: it will
 139 be a function of type `char list -> char list`.  We'll call each step
 140 (or group of steps) a **continuation** of the recipe.  So in this
 141 context, a continuation is a function of type `char list -> char
 142 list`.  For instance, the continuation corresponding to the portion of
 143 the recipe below the horizontal line is the function `fun (tail:char
 144 list) -> 'a'::('b'::tail)`.
 145
 146 This means that we can now represent the unzipped part of our
 147 zipper---the part we've already unzipped---as a continuation: a function
 148 describing how to finish building the list.  We'll write a new
 149 function, `tc` (for task with continuations), that will take an input
 150 list (not a zipper!) and a continuation and return a processed list.
 151 The structure and the behavior will follow that of `tz` above, with
 152 some small but interesting differences.  We've included the orginal
 153 `tz` to facilitate detailed comparison:
 154
 155 <pre>
 156 let rec tz (z:char list_zipper) =
 157     match z with (unzipped, []) -> List.rev(unzipped) (* Done! *)
 158                | (unzipped, 'S'::zipped) -> tz ((List.append unzipped unzipped), zipped)
 159                | (unzipped, target::zipped) -> tz (target::unzipped, zipped);; (* Pull zipper *)
 160
 161 let rec tc (l: char list) (c: (char list) -> (char list)) =
 162   match l with [] -> List.rev (c [])
 163              | 'S'::zipped -> tc zipped (fun x -> c (c x))
 164              | target::zipped -> tc zipped (fun x -> target::(c x));;
 165
 166 # tc ['a'; 'b'; 'S'; 'd'] (fun x -> x);;
 167 - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b']
 168
 169 # tc ['a'; 'S'; 'b'; 'S'] (fun x -> x);;
 170 - : char list = ['a'; 'a'; 'b'; 'a'; 'a'; 'b']
 171 </pre>
 172
 173 To emphasize the parallel, I've re-used the names `zipped` and
 174 `target`.  The trace of the procedure will show that these variables
 175 take on the same values in the same series of steps as they did during
 176 the execution of `tz` above.  There will once again be one initial and
 177 four recursive calls to `tc`, and `zipped` will take on the values
 178 `"bSd"`, `"Sd"`, `"d"`, and `""` (and, once again, on the final call,
 179 the first `match` clause will fire, so the the variable `zipper` will
 180 not be instantiated).
 181
 182 I have not called the functional argument `unzipped`, although that is
 183 what the parallel would suggest.  The reason is that `unzipped` is a
 184 list, but `c` is a function.  That's the most crucial difference, the
 185 point of the excercise, and it should be emphasized.  For instance,
 186 you can see this difference in the fact that in `tz`, we have to glue
 187 together the two instances of `unzipped` with an explicit (and
 188 relatively inefficient) `List.append`.
 189 In the `tc` version of the task, we simply compose `c` with itself:
 190 `c o c = fun x -> c (c x)`.
 191
 192 Why use the identity function as the initial continuation?  Well, if
 193 you have already constructed the initial list `"abSd"`, what's the next
 194 step in the recipe to produce the desired result, i.e, the very same
 195 list, `"abSd"`?  Clearly, the identity continuation.
 196
 197 A good way to test your understanding is to figure out what the
 198 continuation function `c` must be at the point in the computation when
 199 `tc` is called with the first argument `"Sd"`.  Two choices: is it
 200 `fun x -> a::b::x`, or it is `fun x -> b::a::x`?  The way to see if
 201 you're right is to execute the following command and see what happens:
 202
 203     tc ['S'; 'd'] (fun x -> 'a'::'b'::x);;
 204
 205 There are a number of interesting directions we can go with this task.
 206 The reason this task was chosen is because it can be viewed as a
 207 simplified picture of a computation using continuations, where `'S'`
 208 plays the role of a control operator with some similarities to what is
 209 often called `shift`.  In the analogy, the input list portrays a
 210 sequence of functional applications, where `[f1; f2; f3; x]` represents
 211 `f1(f2(f3 x))`.  The limitation of the analogy is that it is only
 212 possible to represent computations in which the applications are
 213 always right-branching, i.e., the computation `((f1 f2) f3) x` cannot
 214 be directly represented.
 215
 216 One possibile development is that we could add a special symbol `'#'`,
 217 and then the task would be to copy from the target `'S'` only back to
 218 the closest `'#'`.  This would allow the task to simulate delimited
 219 continuations with embedded prompts.
 220
 221 The reason the task is well-suited to the list zipper is in part
 222 because the list monad has an intimate connection with continuations.
 223 The following section explores this connection.  We'll return to the
 224 list task after talking about generalized quantifiers below.
 225
 226
 227