1 Refunctionalizing zippers: from lists to continuations
2 ------------------------------------------------------
4 If zippers are continuations reified (defuntionalized), then one route
5 to continuations is to re-functionalize a zipper.  Then the
6 concreteness and understandability of the zipper provides a way of
7 understanding and equivalent treatment using continuations.
9 Let's work with lists of `char`s for a change.  To maximize readability, we'll
10 indulge in an abbreviatory convention that "abSd" abbreviates the
11 list `['a'; 'b'; 'S'; 'd']`.
13 We will set out to compute a deceptively simple-seeming **task: given a
14 string, replace each occurrence of 'S' in that string with a copy of
15 the string up to that point.**
17 We'll define a function `t` (for "task") that maps strings to their
18 updated version.
20 Expected behavior:
22         t "abSd" ~~> "ababd"
25 In linguistic terms, this is a kind of anaphora
26 resolution, where `'S'` is functioning like an anaphoric element, and
27 the preceding string portion is the antecedent.
29 This deceptively simple task gives rise to some mind-bending complexity.
30 Note that it matters which 'S' you target first (the position of the *
31 indicates the targeted 'S'):
33             t "aSbS"
34                 *
35         ~~> t "aabS"
36                   *
37         ~~> "aabaab"
39 versus
41             t "aSbS"
42                   *
43         ~~> t "aSbaSb"
44                 *
45         ~~> t "aabaSb"
46                    *
47         ~~> "aabaaabab"
49 versus
51             t "aSbS"
52                   *
53         ~~> t "aSbaSb"
54                    *
55         ~~> t "aSbaaSbab"
56                     *
57         ~~> t "aSbaaaSbaabab"
58                      *
59         ~~> ...
61 Aparently, this task, as simple as it is, is a form of computation,
62 and the order in which the `'S'`s get evaluated can lead to divergent
63 behavior.
65 For now, we'll agree to always evaluate the leftmost `'S'`, which
66 guarantees termination, and a final string without any `'S'` in it.
68 This is a task well-suited to using a zipper.  We'll define a function
69 `tz` (for task with zippers), which accomplishes the task by mapping a
70 `char list zipper` to a `char list`.  We'll call the two parts of the
71 zipper `unzipped` and `zipped`; we start with a fully zipped list, and
72 move elements to the zipped part by pulling the zipper down until the
73 entire list has been unzipped (and so the zipped half of the zipper is empty).
75         type 'a list_zipper = ('a list) * ('a list);;
77         let rec tz (z : char list_zipper) =
78             match z with
79             | (unzipped, []) -> List.rev(unzipped) (* Done! *)
80             | (unzipped, 'S'::zipped) -> tz ((List.append unzipped unzipped), zipped)
81             | (unzipped, target::zipped) -> tz (target::unzipped, zipped);; (* Pull zipper *)
83         # tz ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd']);;
84         - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
86         # tz ([], ['a'; 'S'; 'b'; 'S']);;
87         - : char list = ['a'; 'a'; 'b'; 'a'; 'a'; 'b']
89 Note that this implementation enforces the evaluate-leftmost rule.
92 One way to see exactly what is going on is to watch the zipper in
93 action by tracing the execution of `tz`.  By using the `#trace`
94 directive in the Ocaml interpreter, the system will print out the
95 arguments to `tz` each time it is (recurcively) called.  Note that the
96 lines with left-facing arrows (`<--`) show (recursive) calls to `tz`,
97 giving the value of its argument (a zipper), and the lines with
98 right-facing arrows (`-->`) show the output of each recursive call, a
99 simple list.
101 <pre>
102 # #trace tz;;
103 t1 is now traced.
104 # tz ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd']);;
105 tz <-- ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd'])
106 tz <-- (['a'], ['b'; 'S'; 'd'])         (* Pull zipper *)
107 tz <-- (['b'; 'a'], ['S'; 'd'])         (* Pull zipper *)
108 tz <-- (['b'; 'a'; 'b'; 'a'], ['d'])    (* Special step *)
109 tz <-- (['d'; 'b'; 'a'; 'b'; 'a'], [])  (* Pull zipper *)
110 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']        (* Output reversed *)
111 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
112 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
113 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
114 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
115 - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
116 </pre>
118 The nice thing about computations involving lists is that it's so easy
119 to visualize them as a data structure.  Eventually, we want to get to
120 a place where we can talk about more abstract computations.  In order
121 to get there, we'll first do the exact same thing we just did with
122 concrete zipper using procedures.
124 Think of a list as a procedural recipe: `['a'; 'b'; 'S'; 'd']`
125 is the result of the computation `'a'::('b'::('S'::('d'::[])))` (or, in our old
126 style, `make_list 'a' (make_list 'b' (make_list 'S' (make_list 'd' empty)))`).
127 The recipe for constructing the list goes like this:
129 <pre>
130 (0)  Start with the empty list []
131 (1)  make a new list whose first element is 'd' and whose tail is the list constructed in step (0)
132 (2)  make a new list whose first element is 'S' and whose tail is the list constructed in step (1)
133 -----------------------------------------
134 (3)  make a new list whose first element is 'b' and whose tail is the list constructed in step (2)
135 (4)  make a new list whose first element is 'a' and whose tail is the list constructed in step (3)
136 </pre>
138 What is the type of each of these steps?  Well, it will be a function
139 from the result of the previous step (a list) to a new list: it will
140 be a function of type `char list -> char list`.  We'll call each step
141 (or group of steps) a **continuation** of the recipe.  So in this
142 context, a continuation is a function of type `char list -> char
143 list`.  For instance, the continuation corresponding to the portion of
144 the recipe below the horizontal line is the function `fun (tail : char
145 list) -> 'a'::('b'::tail)`.
147 This means that we can now represent the unzipped part of our
148 zipper---the part we've already unzipped---as a continuation: a function
149 describing how to finish building the list.  We'll write a new
150 function, `tc` (for task with continuations), that will take an input
151 list (not a zipper!) and a continuation and return a processed list.
152 The structure and the behavior will follow that of `tz` above, with
153 some small but interesting differences.  We've included the orginal
154 `tz` to facilitate detailed comparison:
156         let rec tz (z : char list_zipper) =
157             match z with
158             | (unzipped, []) -> List.rev(unzipped) (* Done! *)
159             | (unzipped, 'S'::zipped) -> tz ((List.append unzipped unzipped), zipped)
160             | (unzipped, target::zipped) -> tz (target::unzipped, zipped);; (* Pull zipper *)
162         let rec tc (l: char list) (c: (char list) -> (char list)) =
163             match l with
164             | [] -> List.rev (c [])
165             | 'S'::zipped -> tc zipped (fun x -> c (c x))
166             | target::zipped -> tc zipped (fun x -> target::(c x));;
168         # tc ['a'; 'b'; 'S'; 'd'] (fun x -> x);;
169         - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b']
171         # tc ['a'; 'S'; 'b'; 'S'] (fun x -> x);;
172         - : char list = ['a'; 'a'; 'b'; 'a'; 'a'; 'b']
174 To emphasize the parallel, I've re-used the names `zipped` and
175 `target`.  The trace of the procedure will show that these variables
176 take on the same values in the same series of steps as they did during
177 the execution of `tz` above.  There will once again be one initial and
178 four recursive calls to `tc`, and `zipped` will take on the values
179 `"bSd"`, `"Sd"`, `"d"`, and `""` (and, once again, on the final call,
180 the first `match` clause will fire, so the the variable `zipper` will
181 not be instantiated).
183 I have not called the functional argument `unzipped`, although that is
184 what the parallel would suggest.  The reason is that `unzipped` is a
185 list, but `c` is a function.  That's the most crucial difference, the
186 point of the excercise, and it should be emphasized.  For instance,
187 you can see this difference in the fact that in `tz`, we have to glue
188 together the two instances of `unzipped` with an explicit (and
189 relatively inefficient) `List.append`.
190 In the `tc` version of the task, we simply compose `c` with itself:
191 `c o c = fun x -> c (c x)`.
193 Why use the identity function as the initial continuation?  Well, if
194 you have already constructed the initial list `"abSd"`, what's the next
195 step in the recipe to produce the desired result, i.e, the very same
196 list, `"abSd"`?  Clearly, the identity continuation.
198 A good way to test your understanding is to figure out what the
199 continuation function `c` must be at the point in the computation when
200 `tc` is called with the first argument `"Sd"`.  Two choices: is it
201 `fun x -> a::b::x`, or it is `fun x -> b::a::x`?  The way to see if
202 you're right is to execute the following command and see what happens:
204     tc ['S'; 'd'] (fun x -> 'a'::'b'::x);;
206 There are a number of interesting directions we can go with this task.
207 The reason this task was chosen is because it can be viewed as a
208 simplified picture of a computation using continuations, where `'S'`
209 plays the role of a control operator with some similarities to what is
210 often called `shift`.  In the analogy, the input list portrays a
211 sequence of functional applications, where `[f1; f2; f3; x]` represents
212 `f1(f2(f3 x))`.  The limitation of the analogy is that it is only
213 possible to represent computations in which the applications are
214 always right-branching, i.e., the computation `((f1 f2) f3) x` cannot
215 be directly represented.
217 One possibile development is that we could add a special symbol `'#'`,
218 and then the task would be to copy from the target `'S'` only back to
219 the closest `'#'`.  This would allow the task to simulate delimited
220 continuations with embedded prompts.
222 The reason the task is well-suited to the list zipper is in part
223 because the list monad has an intimate connection with continuations.
224 The following section explores this connection.  We'll return to the