1 Refunctionalizing zippers: from lists to continuations
2 ------------------------------------------------------
4 If zippers are continuations reified (defuntionalized), then one route
5 to continuations is to re-functionalize a zipper.  Then the
6 concreteness and understandability of the zipper provides a way of
7 understanding an equivalent treatment using continuations.
9 Let's work with lists of `char`s for a change.  To maximize readability, we'll
10 indulge in an abbreviatory convention that "abSd" abbreviates the
11 list `['a'; 'b'; 'S'; 'd']`.
13 We will set out to compute a deceptively simple-seeming **task: given a
14 string, replace each occurrence of 'S' in that string with a copy of
15 the string up to that point.**
17 We'll define a function `t` (for "task") that maps strings to their
18 updated version.
20 Expected behavior:
22         t "abSd" ~~> "ababd"
25 In linguistic terms, this is a kind of anaphora
26 resolution, where `'S'` is functioning like an anaphoric element, and
27 the preceding string portion is the antecedent.
29 This task can give rise to considerable complexity.
30 Note that it matters which 'S' you target first (the position of the *
31 indicates the targeted 'S'):
33             t "aSbS"
34                 *
35         ~~> t "aabS"
36                   *
37         ~~> "aabaab"
39 versus
41             t "aSbS"
42                   *
43         ~~> t "aSbaSb"
44                 *
45         ~~> t "aabaSb"
46                    *
47         ~~> "aabaaabab"
49 versus
51             t "aSbS"
52                   *
53         ~~> t "aSbaSb"
54                    *
55         ~~> t "aSbaaSbab"
56                     *
57         ~~> t "aSbaaaSbaabab"
58                      *
59         ~~> ...
61 Apparently, this task, as simple as it is, is a form of computation,
62 and the order in which the `'S'`s get evaluated can lead to divergent
63 behavior.
65 For now, we'll agree to always evaluate the leftmost `'S'`, which
66 guarantees termination, and a final string without any `'S'` in it.
68 This is a task well-suited to using a zipper.  We'll define a function
69 `tz` (for task with zippers), which accomplishes the task by mapping a
70 `char list zipper` to a `char list`.  We'll call the two parts of the
71 zipper `unzipped` and `zipped`; we start with a fully zipped list, and
72 move elements to the unzipped part by pulling the zipper down until the
73 entire list has been unzipped, at which point the zipped half of the
74 zipper will be empty.
76         type 'a list_zipper = ('a list) * ('a list);;
78         let rec tz (z : char list_zipper) =
79           match z with
80             | (unzipped, []) -> List.rev(unzipped) (* Done! *)
81             | (unzipped, 'S'::zipped) -> tz ((List.append unzipped unzipped), zipped)
82             | (unzipped, target::zipped) -> tz (target::unzipped, zipped);; (* Pull zipper *)
84         # tz ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd']);;
85         - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
87         # tz ([], ['a'; 'S'; 'b'; 'S']);;
88         - : char list = ['a'; 'a'; 'b'; 'a'; 'a'; 'b']
90 Note that the direction in which the zipper unzips enforces the
93 One way to see exactly what is going on is to watch the zipper in
94 action by tracing the execution of `tz`.  By using the `#trace`
95 directive in the OCaml interpreter, the system will print out the
96 arguments to `tz` each time it is called, including when it is called
97 recursively within one of the `match` clauses.  Note that the
98 lines with left-facing arrows (`<--`) show (both initial and recursive) calls to `tz`,
99 giving the value of its argument (a zipper), and the lines with
100 right-facing arrows (`-->`) show the output of each recursive call, a
101 simple list.
103         # #trace tz;;
104         t1 is now traced.
105         # tz ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd']);;
106         tz <-- ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd'])       (* Initial call *)
107         tz <-- (['a'], ['b'; 'S'; 'd'])         (* Pull zipper *)
108         tz <-- (['b'; 'a'], ['S'; 'd'])         (* Pull zipper *)
109         tz <-- (['b'; 'a'; 'b'; 'a'], ['d'])    (* Special 'S' step *)
110         tz <-- (['d'; 'b'; 'a'; 'b'; 'a'], [])  (* Pull zipper *)
111         tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']        (* Output reversed *)
112         tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
113         tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
114         tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
115         tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
116         - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
118 The nice thing about computations involving lists is that it's so easy
119 to visualize them as a data structure.  Eventually, we want to get to
120 a place where we can talk about more abstract computations.  In order
121 to get there, we'll first do the exact same thing we just did with
122 concrete zipper using procedures instead.
124 Think of a list as a procedural recipe: `['a'; 'b'; 'S'; 'd']` is the result of
125 the computation `'a'::('b'::('S'::('d'::[])))` (or, in our old style,
126 `make_list 'a' (make_list 'b' (make_list 'S' (make_list 'd' empty)))`). The
127 recipe for constructing the list goes like this:
129 >       (0)  Start with the empty list []
130 >       (1)  make a new list whose first element is 'd' and whose tail is the list constructed in step (0)
131 >       (2)  make a new list whose first element is 'S' and whose tail is the list constructed in step (1)
132 >       -----------------------------------------
133 >       (3)  make a new list whose first element is 'b' and whose tail is the list constructed in step (2)
134 >       (4)  make a new list whose first element is 'a' and whose tail is the list constructed in step (3)
136 What is the type of each of these steps?  Well, it will be a function
137 from the result of the previous step (a list) to a new list: it will
138 be a function of type `char list -> char list`.  We'll call each step
139 (or group of steps) a **continuation** of the previous steps.  So in this
140 context, a continuation is a function of type `char list -> char
141 list`.  For instance, the continuation corresponding to the portion of
142 the recipe below the horizontal line is the function `fun (tail : char
143 list) -> 'a'::('b'::tail)`.
145 This means that we can now represent the unzipped part of our
146 zipper as a continuation: a function
147 describing how to finish building a list.  We'll write a new
148 function, `tc` (for task with continuations), that will take an input
149 list (not a zipper!) and a continuation `k` (it's conventional to use `k` for continuation variables) and return a processed list.
150 The structure and the behavior will follow that of `tz` above, with
151 some small but interesting differences.  We've included the orginal
152 `tz` to facilitate detailed comparison:
154         let rec tz (z : char list_zipper) =
155             match z with
156             | (unzipped, []) -> List.rev(unzipped) (* Done! *)
157             | (unzipped, 'S'::zipped) -> tz ((List.append unzipped unzipped), zipped)
158             | (unzipped, target::zipped) -> tz (target::unzipped, zipped);; (* Pull zipper *)
160         let rec tc (l: char list) (k: (char list) -> (char list)) =
161             match l with
162             | [] -> List.rev (k [])
163             | 'S'::zipped -> tc zipped (fun tail -> k (k tail))
164             | target::zipped -> tc zipped (fun tail -> target::(k tail));;
166         # tc ['a'; 'b'; 'S'; 'd'] (fun tail -> tail);;
167         - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b']
169         # tc ['a'; 'S'; 'b'; 'S'] (fun tail -> tail);;
170         - : char list = ['a'; 'a'; 'b'; 'a'; 'a'; 'b']
172 To emphasize the parallel, we've re-used the names `zipped` and
173 `target`.  The trace of the procedure will show that these variables
174 take on the same values in the same series of steps as they did during
175 the execution of `tz` above: there will once again be one initial and
176 four recursive calls to `tc`, and `zipped` will take on the values
177 `"bSd"`, `"Sd"`, `"d"`, and `""` (and, once again, on the final call,
178 the first `match` clause will fire, so the the variable `zipped` will
179 not be instantiated).
181 We have not named the functional argument `unzipped`, although that is
182 what the parallel would suggest.  The reason is that `unzipped` (in
183 `tz`) is a
184 list, but `k` (in `tc`) is a function.  That's the most crucial
185 difference between the solutions---it's the
186 point of the excercise, and it should be emphasized.  For instance,
187 you can see this difference in the fact that in `tz`, we have to glue
188 together the two instances of `unzipped` with an explicit (and,
189 computationally speaking, relatively inefficient) `List.append`.
190 In the `tc` version of the task, we simply compose `k` with itself:
191 `k o k = fun tail -> k (k tail)`.
193 A call `tc ['a'; 'b'; 'S'; 'd']` yields a partially-applied function; it still waits for another argument, a continuation of type `char list -> char list`. We have to give it an "initial continuation" to get started. Here we supply *the identity function* as the initial continuation. Why did we choose that? Well, if
194 you have already constructed the initial list `"abSd"`, what's the desired continuation? What's the next step in the recipe to produce the desired result, i.e, the very same list, `"abSd"`?  Clearly, the identity function.
196 A good way to test your understanding is to figure out what the
197 continuation function `k` must be at the point in the computation when
198 `tc` is applied to the argument `"Sd"`.  Two choices: is it
199 `fun tail -> 'a'::'b'::tail`, or it is `fun tail -> 'b'::'a'::tail`?  The way to see if
200 you're right is to execute the following command and see what happens:
202     tc ['S'; 'd'] (fun tail -> 'a'::'b'::tail);;
204 There are a number of interesting directions we can go with this task.
205 The reason this task was chosen is because the task itself (as opposed
206 to the functions used to implement the task) can be viewed as a
207 simplified picture of a computation using continuations, where `'S'`
208 plays the role of a continuation operator. (It works like the Scheme
209 operators `shift` or `control`; the differences between them don't
210 manifest themselves in this example.
211 See Ken Shan's paper [Shift to control](http://www.cs.rutgers.edu/~ccshan/recur/recur.pdf),
212 which inspired some of the discussion in this topic.)
213 In the analogy, the input list portrays a
214 sequence of functional applications, where `[f1; f2; f3; x]` represents
215 `f1(f2(f3 x))`.  The limitation of the analogy is that it is only
216 possible to represent computations in which the applications are
217 always right-branching, i.e., the computation `((f1 f2) f3) x` cannot
218 be directly represented.
220 One way to extend this exercise would be to add a special symbol `'#'`,
221 and then the task would be to copy from the target `'S'` only back to
222 the closest `'#'`.  This would allow our task to simulate delimited
223 continuations with embedded `prompt`s (also called `reset`s).
225 The reason the task is well-suited to the list zipper is in part
226 because the list monad has an intimate connection with continuations.
227 We'll explore this next.