exercises/assignment2.mdwn

   1 Syntax
   2 ------
   3
   4 Insert all the implicit `( )`s and <code>&lambda;</code>s into the following abbreviated expressions.
   5
   6 1.  `x x (x x x) x`
   7 2.  `v w (\x y. v x)`
   8 3.  `(\x y. x) u v`
   9 4.  `w (\x y z. x z (y z)) u v`
  10
  11 Mark all occurrences of `(x y)` in the following terms:
  12
  13 <small>(I know the numbering of the homework problems will restart instead of continuing with 5, 6, 7, ... It's too much of a pain to fix it right now. We'll put in a better rendering engine later that will make this work right without laborious work-arounds on our part. Please just renumber the problems appropriately)</small>
  14
  15 5.  `(\x y. x y) x y`
  16 6.  `(\x y. x y) (x y)`
  17 7.  `\x y. x y (x y)`
  18
  19 Reduction
  20 ---------
  21
  22 Find "normal forms" for the following---that is, reduce them until no more reductions are possible. As mentioned in the notes, we'll write <code>&lambda;x</code> as `\x`. If we ever say "reduce" without qualifications, we mean just "beta-reduce" (as opposed to "(beta + eta)-reduce").
  23
  24 8.  `(\x \y. y x) z`
  25 9.  `(\x (x x)) z`
  26 10. `(\x (\x x)) z`
  27 11. `(\x (\z x)) z`
  28 12. `(\x (x (\y y))) (\z (z z))`
  29 13. `(\x (x x)) (\x (x x))`
  30 14. `(\x (x x x)) (\x (x x x))`
  31
  32
  33
  34 Booleans
  35 --------
  36
  37 Recall our definitions of true and false.
  38
  39 >   **true** is defined to be `\t f. t`
  40 >   **false** is defined to be `\t f. f`
  41
  42 In Racket, these functions can be defined like this:
  43
  44     (define true (lambda (t) (lambda (f) t)))
  45     (define false (lambda (t) (lambda (f) f)))
  46
  47 (Note that they are different from Racket's *primitive* boolean values `#t` and `#f`.)
  48
  49
  50 15. Define a `neg` operator that negates `true` and `false`.
  51
  52     Expected behavior:
  53
  54         (((neg true) 10) 20)
  55
  56     evaluates to `20`, and
  57
  58         (((neg false) 10) 20)
  59
  60     evaluates to `10`.
  61
  62 16. Define an `or` operator.
  63
  64 17. Define an `xor` operator. If you haven't seen this term before, here's a truth table:
  65
  66         true   xor  true   == false
  67         true   xor  false  == true
  68         false  xor  true   == true
  69         false  xor  false  == false
  70
  71
  72
  73 Triples
  74 -------
  75
  76 Recall our definitions of ordered triples.
  77
  78 >   the triple **(**a**, **b**, **c**)** is defined to be `\f. f a b c`
  79
  80 To extract the first element of a triple `t`, you write:
  81
  82     t (\fst snd trd. fst)
  83
  84 Here are some definitions in Racket:
  85
  86     (define make-triple  (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (trd) (lambda (f) (((f fst) snd) trd))))))
  87     (define fst_of_three (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (trd) fst))))
  88     (define snd_of_three (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (trd) snd))))
  89
  90 Now we can write:
  91
  92     (define t (((make-triple 10) 20) 30))
  93     (t fst_of_three)  ; will evaluate to 10
  94     (t snd_of_three)  ; will evaluate to 20
  95
  96 If you're puzzled by having the triple to the left and the function that
  97 operates on it come second, think about why it's being done this way: the pair
  98 is a package that takes a function for operating on its elements *as an
  99 argument*, and returns *the result of* operating on its elements with that
 100 function. In other words, the triple is a higher-order function.
 101
 102
 103 18. Define the `swap12` function that permutes the elements of a triple. Expected behavior:
 104
 105         (define t (((make-triple 10) 20) 30))
 106         ((t swap12) fst_of_three) ; evaluates to 20
 107         ((t swap12) snd_of_three) ; evaluates to 10
 108
 109     Write out the definition of `swap12` in Racket.
 110
 111
 112 19. Define a `dup3` function that duplicates its argument to form a triple
 113 whose elements are the same.  Expected behavior:
 114
 115         ((dup3 10) fst_of_three) ; evaluates to 10
 116         ((dup3 10) snd_of_three) ; evaluates to 10
 117
 118 20. Define a `dup27` function that makes
 119 twenty-seven copies of its argument (and stores them in a data structure of
 120 your choice).
 121
 122
 123 Folds and Lists
 124 ---------------
 125
 126 21. Using Kapulet syntax, define `fold_left`.
 127
 128 22. Using Kapulet syntax, define `filter` (problem 7 in last week's homework) in terms of `fold_right` and other primitive syntax like `lambda`, `&`, and `[]`. Don't use `letrec`!
 129
 130 23. Using Kapulet syntax, define `&&` in terms of `fold_right`. (To avoid trickiness about the infix syntax, just call it `append`.)
 131
 132 24. Using Kapulet syntax, define `head` in terms of `fold_right`. When applied to a non-empty list, it should give us the first element of that list. When applied to an empty list, let's say it should give us `'error`.
 133
 134 25. We mentioned in the Encoding notes that `fold_left (flipped_cons, []) xs` would give us the elements of `xs` but in the reverse order. So that's how we can express `reverse` in terms of `fold_left`. How would you express `reverse` in terms of `fold_right`?
 135
 136     This problem does have an elegant and concise solution, but it may be hard for you to figure it out. We think it will a useful exercise for you to try, anyway. We'll give a [[hint|assignment2 hint]]. Don't look at the hint until you've gotten really worked up about the problem. Before that, it probably will just be baffling. If your mind has really gotten its talons into the problem, though, the hint might be just what you need to break it open.
 137
 138     Even if you don't get the answer, we think the experience of working on the problem, and then understanding the answer when we reveal it, will be satisfying and worthwhile. It also fits our pedagogical purposes for some of the recurring themes of the class.
 139
 140
 141 Numbers
 142 -------
 143
 144 26. Given that we've agreed to Church's encoding of the numbers:
 145
 146     <code>0 &equiv; \f z. z</code>
 147     <code>1 &equiv; \f z. f z</code>
 148     <code>2 &equiv; \f z. f (f z)</code>
 149     <code>3 &equiv; \f z. f (f (f z))</code>
 150     <code>...</code>
 151
 152     How would you express the `succ` function in the Lambda Calculus?