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   1 1.  Define a function `zero?` that expects a single number as an argument, and returns `'true` if that number is `0`, else returns `'false`.
   2
   3         let
   4           zero? match lambda x. case x of
   5                                   0 then 'true;
   6                                   y then 'false
   7                                 end
   8         in zero?
   9
  10
  11 2.  Define a function `empty?` that expects a sequence of values as an argument (doesn't matter what type of values), and returns `'true` if that sequence is the empty sequence `[]`, else returns `'false`.
  12
  13         let
  14           empty? match lambda xs. case xs of
  15                                     []    then 'true;
  16                                     _ & _ then 'false
  17                                   end
  18         in empty?
  19
  20     The second `case` clause could also just be `_ then 'false`.
  21
  22 3.  Define a function `tail` that expects a sequence of values as an argument (doesn't matter what type of values), and returns that sequence with the first element (if any) stripped away. (Applying `tail` to the empty sequence `[]` can just give us back the empty sequence.)
  23
  24         let
  25           tail match lambda xs. case xs of
  26                                   []      then [];
  27                                   _ & xs' then xs'
  28                                 end
  29         in tail
  30
  31
  32 4.  Define a function `drop` that expects two arguments, in the form (*number*, *sequence*), and works like this:
  33
  34         drop (0, [10, 20, 30])  # evaluates to [10, 20, 30]
  35         drop (1, [10, 20, 30])  # evaluates to [20, 30]
  36         drop (2, [10, 20, 30])  # evaluates to [30]
  37         drop (3, [10, 20, 30])  # evaluates to []
  38         drop (4, [10, 20, 30])  # evaluates to []
  39
  40     <!-- -->
  41
  42         letrec
  43           drop match lambda (n, xs). case (n, xs) of
  44                                        (0, _)       then xs;
  45                                        (_, [])      then [];
  46                                        (_, _ & xs') then drop (n-1, xs')
  47                                      end
  48         in drop
  49
  50     What is the relation between `tail` and `drop`?
  51
  52         let
  53           tail xs = drop (1, xs)
  54         in ...
  55
  56     That uses [[the shorthand explained here|topics/week1_kapulet_advanced#funct-declarations]], which I will continue to use below.
  57
  58 5.  Define a function `take` that expects two arguments, in the same form as `drop`, but works like this instead:
  59
  60         take (0, [10, 20, 30])  # evaluates to []
  61         take (1, [10, 20, 30])  # evaluates to [10]
  62         take (2, [10, 20, 30])  # evaluates to [10, 20]
  63         take (3, [10, 20, 30])  # evaluates to [10, 20, 30]
  64         take (4, [10, 20, 30])  # evaluates to [10, 20, 30]
  65
  66     <!-- -->
  67
  68         letrec
  69           take (n, xs) = case (n, xs) of
  70                            (0, _)        then [];
  71                            (_, [])       then [];
  72                            (_, x' & xs') then x' & take (n-1, xs')
  73                          end
  74         in take
  75
  76
  77 6.  Define a function `split` that expects two arguments, in the same form as `drop` and `take`, but this time evaluates to a pair of results. It works like this:
  78
  79         split (0, [10, 20, 30])  # evaluates to ([], [10, 20, 30])
  80         split (1, [10, 20, 30])  # evaluates to ([10], [20, 30])
  81         split (2, [10, 20, 30])  # evaluates to ([10, 20], [30])
  82         split (3, [10, 20, 30])  # evaluates to ([10, 20, 30], [])
  83         split (4, [10, 20, 30])  # evaluates to ([10, 20, 30], [])
  84
  85     <!-- -->
  86
  87         letrec
  88           split (n, xs) = case (n, xs) of
  89                            (0, _)        then ([], xs);
  90                            (_, [])       then ([], []);
  91                            (_, x' & xs') then let
  92                                                 (ys, zs) match split (n-1, xs')
  93                                               in (x' & ys, zs)
  94                           end
  95         in split
  96
  97 7.  Write a function `filter` that expects two arguments. The second argument will be a sequence `xs` with elements of some type *t*, for example numbers. The first argument will be a function `p` that itself expects arguments of type *t* and returns `'true` or `'false`. What `filter` should return is a sequence that contains exactly those members of `xs` for which `p` returned `'true`.
  98
  99         letrec
 100           filter (p, xs) = case xs of
 101                              [] then [];
 102                              x' & xs' when p x' then x' & filter (p, xs');
 103                              _  & xs'           then      filter (p, xs')
 104                            end
 105         in filter
 106
 107     The above solution uses [[pattern guards|/topics/week1_kapulet_advanced#guards]].
 108
 109
 110 8.  Write a function `partition` that expects two arguments, in the same form as `filter`, but this time evaluates to a pair of results. It works like this:
 111
 112         partition (odd?, [11, 12, 13, 14])  # evaluates to ([11, 13], [12, 14])
 113         partition (odd?, [11])              # evaluates to ([11], [])
 114         partition (odd?, [12, 14])          # evaluates to ([], [12, 14])
 115
 116     <!-- -->
 117
 118         letrec
 119           partition (p, xs) = case xs of
 120                                 []       then ([], []);
 121                                 x' & xs' then let
 122                                                 (ys, zs) match partition (p, xs')
 123                                               in if p x' then (x' & ys, zs) else (ys, x' & zs)
 124                               end
 125         in partition
 126
 127
 128 9.  Write a function `double` that expects one argument which is a sequence of numbers, and returns a sequence of the same length with the corresponding elements each being twice the value of the original element.
 129
 130         letrec
 131           double xs = case xs of
 132                         []       then [];
 133                         x' & xs' then (2*x') & double xs'
 134                       end
 135         in double
 136
 137
 138 10.  Write a function `map` that generalizes `double`. This function expects a pair of arguments, the second being a sequence `xs` with elements of some type *t*, for example numbers. The first argument will be a function `f` that itself expects arguments of type *t* and returns some type *t'* of result. What `map` should return is a sequence of the results, in the same order as the corresponding original elements. The result should be that we could say:
 139
 140         letrec
 141           map match lambda (f, xs). case xs of
 142                                       []       then [];
 143                                       x' & xs' then (f x') & map (f, xs')
 144                                     end;
 145           double match lambda xs. map ((lambda x. 2*x), xs)
 146         in ...
 147
 148 11. Write a function `map2` that generalizes `map`. This function expects a triple of arguments: the first being a function `f` as for `map`, and the second and third being two sequences. In this case `f` is a function that expects *two* arguments, one from the first of the sequences and the other from the corresponding position in the other sequence. The result should behave like this:
 149
 150         map2 ((lambda (x,y). 10*x + y), [1, 2, 3], [4, 5, 6])  # evaluates to [14, 25, 36]
 151
 152     <!-- -->
 153
 154         letrec
 155           map2 (f, xs, ys) = case (xs, ys) of
 156                                ([], _)              then [];
 157                                (_, [])              then [];
 158                                (x' & xs', y' & ys') then (f x' y') & map2 (f, xs', ys')
 159                              end
 160         in map2
 161
 162
 163 ###Extra credit problems###
 164
 165 *   In class I mentioned a function `&&` which occupied the position *between* its arguments, rather than coming before them (this is called an "infix" function). The way that it works is that `[1, 2, 3] && [4, 5]` evaluates to `[1, 2, 3, 4, 5]`. Define this function, making use of `letrec` and the simpler infix operation `&`.
 166
 167         letrec
 168           xs && ys = case xs of
 169                        []       then ys;
 170                        x' & xs' then x' & (xs' && ys)
 171                      end
 172         in (&&)
 173
 174     This solution is using a variation of [[the shorthand explained here|topics/week1_kapulet_advanced#funct-declarations]]. We didn't expect you'd know how to deal with the special syntax of `&&`. You might have just defined this using a regular name, like `append`.
 175
 176 *   Write a function `unmap2` that is something like the inverse of `map2`. This function expects two arguments, the second being a sequence of elements of some type *t*. The first is a function `g` that expects a single argument of type *t* and returns a *pair* of results, rather than just one result. We want to collate these results, the first into one sequence, and the second into a different sequence. Then `unmap2` should return those two sequences. Thus if:
 177
 178         g z1  # evaluates to (x1, y1)
 179         g z2  # evaluates to (x2, y2)
 180         g z3  # evaluates to (x3, y3)
 181
 182     Then `unmap2 (g, [z1, z2, z3])` should evaluate to `([x1, x2, x3], [y1, y2, y3])`.
 183
 184         letrec
 185           unmap2 (g, zs) = case zs of
 186                              []       then ([], []);
 187                              z' & zs' then let
 188                                              (x, y)   match g z';
 189                                              (xs, ys) match unmap2 (g, zs')
 190                                            in (x & xs, y & ys)
 191                            end
 192         in unmap2
 193
 194 *   Write a function `takewhile` that expects a `p` argument like `filter`, and also a sequence. The result should behave like this:
 195
 196         takewhile ((lambda x. x < 10), [1, 2, 20, 4, 40]) # evaluates to [1, 2]
 197
 198     Note that we stop "taking" once we reach `20`, even though there are still later elements in the sequence that are less than `10`.
 199
 200         letrec
 201           takewhile (p, xs) = case xs of
 202                                 []       then [];
 203                                 x' & xs' then if p x' then x' & takewhile (p, xs')
 204                                                       else []
 205                               end
 206         in takewhile
 207
 208 *   Write a function `dropwhile` that expects a `p` argument like `filter`, and also a sequence. The result should behave like this:
 209
 210         dropwhile ((lambda x. x < 10), [1, 2, 20, 4, 40]) # evaluates to [20, 4, 40]
 211
 212     Note that we stop "dropping" once we reach `20`, even though there are still later elements in the sequence that are less than `10`.
 213
 214         letrec
 215           dropwhile (p, xs) = case xs of
 216                                 x' & xs' when p x' then dropwhile (p, xs');
 217                                 _ & _              then xs;
 218                                 []                 then []
 219                               end
 220         in dropwhile
 221
 222     Unlike the previous solution, this one uses [[pattern guards|/topics/week1_kapulet_advanced#guards]], merely for variety. (In this solution the last two `case` clauses could also be replaced by the single clause `_ then xs`.)
 223
 224 *   Write a function `reverse` that returns the reverse of a sequence. Thus, `reverse [1, 2, 3, 4]` should evaluate to `[4, 3, 2, 1]`.
 225
 226         letrec
 227           aux (ys, xs) = case xs of
 228                            []       then ys;
 229                            x' & xs' then aux (x' & ys, xs')
 230                          end;
 231           reverse xs = aux ([], xs)
 232         in reverse
 233