exercises/_assignment4.mdwn

   1 ## Recursion ##
   2
   3 ## Basic fixed points ##
   4
   5 1. Recall that `&omega; := \f.ff`, and `&Omega; := &omega; &omega;`.
   6 Is &Omega; a fixed point for &omega;?  Find a fixed point for &omega;,
   7 and prove that it is a fixed point.
   8
   9 ## Arithmetic infinity? ##
  10
  11 The next few questions involve reasoning about Church arithmetic and
  12 infinity.  Let's choose some arithmetic functions:
  13
  14     succ = \nfz.f(nfz)
  15     add = \m n. m succ n in
  16     mult = \m n. m (add n) 0 in
  17     exp = \m n . m (mult n) 1 in
  18
  19 There is a pleasing pattern here: addition is defined in terms of
  20 the successor function, multiplication is defined in terms of
  21 addition, and exponentiation is defined in terms of multiplication.
  22
  23 1. Find a fixed point `X` for the succ function.  Prove it's a fixed
  24 point, i.e., demonstrate that `succ X <~~> succ (succ X)`.
  25
  26 We've had surprising success embedding normal arithmetic in the lambda
  27 calculus, modeling the natural numbers, addition, multiplication, and
  28 so on.  But one thing that some versions of arithmetic supply is a
  29 notion of infinity, which we'll write as `inf`.  This object usually
  30 satisfies the following constraints, for any (finite) natural number `n`:
  31
  32     n + inf == inf
  33     n * inf == inf
  34     n ^ inf == inf
  35     n leq inf == True
  36
  37 2. Prove that `add 1 X <~~> X`, where `X` is the fixed
  38 point you found in (1).  What about `add 2 X <~~> X`?
  39
  40 Comment: a fixed point for the succ function is an object such that it
  41 is unchanged after adding 1 to it.  It make a certain amount of sense
  42 to use this object to model arithmetic infinity.  For instance,
  43 depending on implementation details, it might happen that `leq n X` is
  44 true for all (finite) natural numbers `n`.  However, the fixed point
  45 you found for succ is unlikely to be a fixed point for `mult n` or for
  46 `exp n`.
  47
  48
  49 #Mutually-recursive functions#
  50
  51 <OL start=5>
  52 <LI>(Challenging.) One way to define the function `even` is to have it hand off
  53 part of the work to another function `odd`:
  54
  55         let even = \x. iszero x
  56                                         ; if x == 0 then result is
  57                                         true
  58                                         ; else result turns on whether x's pred is odd
  59                                         (odd (pred x))
  60
  61 At the same tme, though, it's natural to define `odd` in such a way that it
  62 hands off part of the work to `even`:
  63
  64         let odd = \x. iszero x
  65                                         ; if x == 0 then result is
  66                                         false
  67                                         ; else result turns on whether x's pred is even
  68                                         (even (pred x))
  69
  70 Such a definition of `even` and `odd` is called **mutually recursive**. If you
  71 trace through the evaluation of some sample numerical arguments, you can see
  72 that eventually we'll always reach a base step. So the recursion should be
  73 perfectly well-grounded:
  74
  75         even 3
  76         ~~> iszero 3 true (odd (pred 3))
  77         ~~> odd 2
  78         ~~> iszero 2 false (even (pred 2))
  79         ~~> even 1
  80         ~~> iszero 1 true (odd (pred 1))
  81         ~~> odd 0
  82         ~~> iszero 0 false (even (pred 0))
  83         ~~> false
  84
  85 But we don't yet know how to implement this kind of recursion in the lambda
  86 calculus.
  87
  88 The fixed point operators we've been working with so far worked like this:
  89
  90         let X = Y T in
  91         X <~~> T X
  92
  93 Suppose we had a pair of fixed point operators, `Y1` and `Y2`, that operated on
  94 a *pair* of functions `T1` and `T2`, as follows:
  95
  96         let X1 = Y1 T1 T2 in
  97         let X2 = Y2 T1 T2 in
  98         X1 <~~> T1 X1 X2 and
  99         X2 <~~> T2 X1 X2
 100
 101 If we gave you such a `Y1` and `Y2`, how would you implement the above
 102 definitions of `even` and `odd`?
 103
 104
 105 <LI>(More challenging.) Using our derivation of Y from the [Week3
 106 notes](/week3/#index4h2) as a model, construct a pair `Y1` and `Y2` that behave
 107 in the way described.
 108
 109 (See [[hints/Assignment 4 hint 3]] if you need some hints.)
 110