exercises/_assignment2_answers.mdwn

   1 Syntax
   2 ------
   3
   4 Insert all the implicit `( )`s and <code>&lambda;</code>s into the following abbreviated expressions.
   5
   6 1.  `x x (x x x) x`
   7      <code><b>(((</b>x x<b>)</b> (<b>(</b>x x<b>)</b> x)<b>)</b> x<b>)</b></code>
   8 2.  `v w (\x y. v x)`
   9     <code><b>((</b>v w<b>)</b> (\x <b>(\</b>y <b>(</b>v x<b>))</b>)<b>)</b></code>
  10 3.  `(\x y. x) u v`
  11     <code><b>((</b>(\x <b>(\</b>y x<b>)</b>) u<b>)</b> v<b>)</b></code>
  12 4.  `w (\x y z. x z (y z)) u v`
  13     <code><b>(((</b>w (\x <b>(\</b>y <b>(\</b>z <b>((</b>x z<b>)</b> (y z)<b>)))</b>)<b>)</b> u<b>)</b> v<b>)</b></code>
  14
  15 Mark all occurrences of `(x y)` in the following terms:
  16
  17 5.  <code>(\x y. <u>x y</u>) x y</code>
  18 6.  <code>(\x y. <u>x y</u>) (<u>x y</u>)</code>
  19 7.  <code>\x y. <u>x y</u> (<u>x y</u>)</code>
  20
  21 Reduction
  22 ---------
  23
  24 Find "normal forms" for the following---that is, reduce them until no more reductions are possible. As mentioned in the notes, we'll write <code>&lambda;x</code> as `\x`. If we ever say "reduce" without qualifications, we mean just "beta-reduce" (as opposed to "(beta + eta)-reduce").
  25
  26 8.  `(\x \y. y x) z` ~~> `\y. y z`
  27 9.  `(\x (x x)) z` ~~> `z z`
  28 10. `(\x (\x x)) z` ~~> `\x x`
  29 11. `(\x (\z x)) z` ~~> `\y z`, be sure to change `\z` to a different variable so as not to "capture" `z`
  30 12. `(\x (x (\y y))) (\z (z z))` ~~> `\y y`
  31 13. `(\x (x x)) (\x (x x))`  umm..., reductions will forever be possible, they just don't "do" much
  32 14. `(\x (x x x)) (\x (x x x))`  that's just mean
  33
  34
  35
  36 Booleans
  37 --------
  38
  39 For these questions, and the ones on triples below, we're setting them up so as to encourage you to experiment with Racket and to formulate your answer in Scheme/Racket syntax. But you can answer in Lambda Calculus syntax if you prefer.
  40
  41 Recall our definitions of true and false.
  42
  43 >   **true** is defined to be `\t f. t`
  44 >   **false** is defined to be `\t f. f`
  45
  46 In Racket, these functions can be defined like this:
  47
  48     (define true (lambda (t) (lambda (f) t)))
  49     (define false (lambda (t) (lambda (f) f)))
  50
  51 (Note that they are different from Racket's *primitive* boolean values `#t` and `#f`.)
  52
  53
  54 15. Define a `neg` operator that negates `true` and `false`.
  55
  56     Expected behavior:
  57
  58         (((neg true) 10) 20)
  59
  60     evaluates to `20`, and
  61
  62         (((neg false) 10) 20)
  63
  64     evaluates to `10`.
  65
  66         (define neg (lambda (p) ((p false) true)))
  67
  68 16. Define an `or` operator.
  69
  70         (define or (lambda (p) (lambda (q) ((p p) q))))
  71
  72     or:
  73
  74         (define or (lambda (p) (lambda (q) ((p true) q))))
  75
  76
  77 17. Define an `xor` operator. If you haven't seen this term before, here's a truth table:
  78
  79         true   xor  true   == false
  80         true   xor  false  == true
  81         false  xor  true   == true
  82         false  xor  false  == false
  83
  84     <!-- -->
  85
  86         (define xor (lambda (p) (lambda (q) ((p (neg q)) q))))
  87
  88
  89 Triples
  90 -------
  91
  92 Recall our definitions of ordered triples.
  93
  94 >   the triple **(**a**, **b**, **c**)** is defined to be `\f. f a b c`
  95
  96 To extract the first element of a triple `t`, you write:
  97
  98     t (\fst snd trd. fst)
  99
 100 Here are some definitions in Racket:
 101
 102     (define make-triple  (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (trd) (lambda (f) (((f fst) snd) trd))))))
 103     (define fst_of_three (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (trd) fst))))
 104     (define snd_of_three (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (trd) snd))))
 105
 106 Now we can write:
 107
 108     (define t (((make-triple 10) 20) 30))
 109     (t fst_of_three)  ; will evaluate to 10
 110     (t snd_of_three)  ; will evaluate to 20
 111
 112 If you're puzzled by having the triple to the left and the function that
 113 operates on it come second, think about why it's being done this way: the triple
 114 is a package that takes a function for operating on its elements *as an
 115 argument*, and returns *the result of* operating on its elements with that
 116 function. In other words, the triple is a higher-order function.
 117
 118
 119 18. Define the `swap12` function that permutes the elements of a triple. Expected behavior:
 120
 121         (define t (((make-triple 10) 20) 30))
 122         ((t swap12) fst_of_three) ; evaluates to 20
 123         ((t swap12) snd_of_three) ; evaluates to 10
 124
 125     Write out the definition of `swap12` in Racket.
 126
 127         (define swap12 (lambda (x) (lambda (y) (lambda (z)
 128                          (lambda (f) (((f y) x) z))))))
 129
 130
 131 19. Define a `dup3` function that duplicates its argument to form a triple
 132 whose elements are the same.  Expected behavior:
 133
 134         ((dup3 10) fst_of_three) ; evaluates to 10
 135         ((dup3 10) snd_of_three) ; evaluates to 10
 136
 137     <!-- -->
 138
 139         (define dup3 (lambda (x)
 140                        (lambda (f) (((f x) x) x))))
 141
 142 20. Define a `dup27` function that makes
 143 twenty-seven copies of its argument (and stores them in a data structure of
 144 your choice).
 145
 146     OK, then we will store them in a triply-nested triple:
 147
 148         (define dup27 (lambda (x) (dup3 (dup3 (dup3 x)))))
 149
 150 Folds and Lists
 151 ---------------
 152
 153 21. Using Kapulet syntax, define `fold_left`.
 154
 155         # fold_left (f, z) [a, b, c] == f (f (f z a) b) c
 156         letrec
 157           fold_left (f, z) xs = case xs of
 158                                   []       then z;
 159                                   x' & xs' then fold_left (f, f (z, x')) xs'
 160                                 end
 161         in fold_left
 162
 163
 164 22. Using Kapulet syntax, define `filter` (problem 7 in last week's homework) in terms of `fold_right` and other primitive syntax like `lambda`, `&`, and `[]`. Don't use `letrec`! All the `letrec`-ing that happens should come from the one inside the definition of `fold_right`.
 165
 166         let
 167           filter (p, xs) = fold_right ((lambda (y, ys). if p y then y & ys else ys), []) xs
 168         in filter
 169
 170 23. Using Kapulet syntax, define `&&` in terms of `fold_right`. (To avoid trickiness about the infix syntax, just call it `append`.) As with problem 22 (the previous problem), don't use `letrec`!
 171
 172         let
 173           xs && ys = fold_right ((&), ys) xs
 174           # or append (xs, ys) = ...
 175         in (&&)
 176
 177 24. Using Kapulet syntax, define `head` in terms of `fold_right`. When applied to a non-empty list, it should give us the first element of that list. When applied to an empty list, let's say it should give us `'err`. As with problem 22, don't use `letrec`!
 178
 179         let
 180           head xs = fold_right ((lambda (y, _). y), 'err) xs
 181         in head
 182
 183 25. We mentioned in the Encoding notes that `fold_left (flipped_cons, []) xs` would give us the elements of `xs` but in the reverse order. So that's how we can express `reverse` in terms of `fold_left`. How would you express `reverse` in terms of `fold_right`? As with problem 22, don't use `letrec`!
 184
 185     *Here is a boring, inefficient answer*
 186
 187         let
 188           append (ys, zs) = fold_right ((&), zs) ys;  # aka (&&)
 189           f (y, prev) = append (prev, [y]);
 190           reverse xs = fold_right (f, []) xs
 191         in reverse
 192
 193     or (same basic idea, just written differently):
 194
 195         let
 196           f (y, prev) = fold_right ((&), [y]) prev;
 197           reverse xs = fold_right (f, []) xs
 198         in reverse
 199
 200     *Here is an elegant, efficient answer following the [[hint|assignment2 hint]]*
 201
 202     Suppose the list we want to reverse is `[10, 20, 30]`. Applying `fold_right` to this will begin by computing `f (30, z)` for some `f` and `z` that we specify. If we made the result of that be something like `30 & blah`, or any larger structure that contained something of that form, it's not clear how we could, using just the resources of `fold_right`, reach down into that structure and replace the `blah` with some other element, as we'd evidently need to, since after the next step we should get `30 & (20 & blah)`. What we'd like instead is something like this:
 203
 204         30 & < >
 205
 206     Where `< >` isn't some *value* but rather a *hole*. Then with the next step, we want to plug into that hole `20 & < >`, which contains its own hole. Getting:
 207
 208         30 & (20 & < >)
 209
 210     And so on. That is the key to the solution. The questions you need to answer, to turn this into something executable, are:
 211
 212     1.  What is a hole? How can we implement it?
 213
 214         A hole is a bound variable. `30 & < >` is `lambda x. 30 & x`.
 215
 216     2.  What should `f` be, so that the result of the second step, namely `f (20, 30 & < >)`, is `30 & (20 & < >)`?
 217
 218             let
 219               f (y, prev) = lambda x. prev (y & x)
 220             in ...
 221
 222     3.  Given that choice of `f`, what should `z` be, so that the result of the first step, namely `f (30, z)` is `30 & < >`?
 223
 224         The identity function: `f (30, (lambda y. y))` will reduce to `lambda x. (lambda y. y) (30 & x)`, which will reduce to `lambda x. 30 & x`.
 225
 226     4.  At the end of the `fold_right`, we're going to end with something like `30 & (20 & (10 & < >))`. But what we want is `[30, 20, 10]`. How can we turn what we've gotten into what we want?
 227
 228         Supply it with `[]` as an argument.
 229
 230     5.  So now put it all together, and explain how to express `reverse xs` using `fold_right` and primitive syntax like `lambda`, `&`, and `[]`?
 231
 232             let
 233               f (y, prev) = lambda x. prev (y & x);
 234               id match lambda y. y;
 235               reverse xs = (fold_right (f, id) xs) []
 236             in reverse
 237
 238 Numbers
 239 -------
 240
 241 26. Given that we've agreed to Church's encoding of the numbers:
 242
 243     <code>0 &equiv; \f z. z</code>
 244     <code>1 &equiv; \f z. f z</code>
 245     <code>2 &equiv; \f z. f (f z)</code>
 246     <code>3 &equiv; \f z. f (f (f z))</code>
 247     <code>...</code>
 248
 249     How would you express the `succ` function in the Lambda Calculus?
 250
 251         let succ = \n. \f z. f (n f z) in ...
 252
 253     Compare the definition of `cons`, which has an additional element:
 254
 255     <code>let cons = \<u>d</u> ds. \f z. f <u>d</u> (ds f z) in ...</code>