ass10 hints
[lambda.git] / coroutines_and_aborts.mdwn
1 [[!toc]]
2
3 ##Same-fringe using a zipper-based coroutine##
4
5 Recall back in [[Assignment4]], we asked you to enumerate the "fringe" of a leaf-labeled tree. Both of these trees (here I *am* drawing the labels in the diagram):
6
7             .                .
8            / \              / \
9           .   3            1   .
10          / \                  / \
11         1   2                2   3
12
13 have the same fringe: `[1; 2; 3]`. We also asked you to write a function that determined when two trees have the same fringe. The way you approached that back then was to enumerate each tree's fringe, and then compare the two lists for equality. Today, and then again in a later class, we'll encounter new ways to approach the problem of determining when two trees have the same fringe.
14
15
16 Supposing you did work out an implementation of the tree zipper, then one way to determine whether two trees have the same fringe would be: go downwards (and leftwards) in each tree as far as possible. Compare the targetted leaves. If they're different, stop because the trees have different fringes. If they're the same, then for each tree, move rightward if possible; if it's not (because you're at the rightmost position in a sibling list), move upwards then try again to move rightwards. Repeat until you are able to move rightwards. Once you do move rightwards, go downwards (and leftwards) as far as possible. Then you'll be targetted on the next leaf in the tree's fringe. The operations it takes to get to "the next leaf" may be different for the two trees. For example, in these trees:
17
18             .                .
19            / \              / \
20           .   3            1   .
21          / \                  / \
22         1   2                2   3
23
24 you won't move upwards at the same steps. Keep comparing "the next leaves" until they are different, or you exhaust the leaves of only one of the trees (then again the trees have different fringes), or you exhaust the leaves of both trees at the same time, without having found leaves with different labels. In this last case, the trees have the same fringe.
25
26 If your trees are very big---say, millions of leaves---you can imagine how this would be quicker and more memory-efficient than traversing each tree to construct a list of its fringe, and then comparing the two lists so built to see if they're equal. For one thing, the zipper method can abort early if the fringes diverge early, without needing to traverse or build a list containing the rest of each tree's fringe.
27
28 Let's sketch the implementation of this. We won't provide all the details for an implementation of the tree zipper, but we will sketch an interface for it.
29
30 First, we define a type for leaf-labeled, binary trees:
31
32         type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree * 'a tree)
33
34 Next, the interface for our tree zippers. We'll help ourselves to OCaml's **record types**. These are nothing more than tuples with a pretty interface. Instead of saying:
35
36         # type blah = Blah of (int * int * (char -> bool));;
37
38 and then having to remember which element in the triple was which:
39
40         # let b1 = Blah (1, (fun c -> c = 'M'), 2);;
41         Error: This expression has type int * (char -> bool) * int
42        but an expression was expected of type int * int * (char -> bool)
43         # (* damnit *)
44         # let b1 = Blah (1, 2, (fun c -> c = 'M'));;
45         val b1 : blah = Blah (1, 2, <fun>)
46
47 records let you attach descriptive labels to the components of the tuple:
48
49         # type blah_record = { height : int; weight : int; char_tester : char -> bool };;
50         # let b2 = { height = 1; weight = 2; char_tester = (fun c -> c = 'M') };;
51         val b2 : blah_record = {height = 1; weight = 2; char_tester = <fun>}
52         # let b3 = { height = 1; char_tester = (fun c -> c = 'K'); weight = 3 };; (* also works *)
53         val b3 : blah_record = {height = 1; weight = 3; char_tester = <fun>}
54
55 These were the strategies to extract the components of an unlabeled tuple:
56
57         let h = fst some_pair;; (* accessor functions fst and snd are only predefined for pairs *)
58
59         let (h, w, test) = b1;; (* works for arbitrary tuples *)
60
61         match b1 with
62         | (h, w, test) -> ...;; (* same as preceding *)
63
64 Here is how you can extract the components of a labeled record:
65
66         let h = b2.height;; (* handy! *)
67
68         let {height = h; weight = w; char_tester = test} = b2
69         in (* go on to use h, w, and test ... *)
70
71         match test with
72         | {height = h; weight = w; char_tester = test} ->
73           (* same as preceding *)
74
75 Anyway, using record types, we might define the tree zipper interface like so:
76
77         type 'a starred_level = Root | Starring_Left of 'a starred_nonroot | Starring_Right of 'a starred_nonroot
78         and 'a starred_nonroot = { parent : 'a starred_level; sibling: 'a tree };;
79
80         type 'a zipper = { level : 'a starred_level; filler: 'a tree };;
81
82         let rec move_botleft (z : 'a zipper) : 'a zipper =
83             (* returns z if the targetted node in z has no children *)
84             (* else returns move_botleft (zipper which results from moving down and left in z) *)
85
86 <!--
87             let {level; filler} = z
88             in match filler with
89             | Leaf _ -> z
90             | Node(left, right) ->
91                 let zdown = {level = Starring_Left {parent = level; sibling = right}; filler = left}
92                 in move_botleft zdown
93             ;;
94 -->
95
96         let rec move_right_or_up (z : 'a zipper) : 'a zipper option =
97             (* if it's possible to move right in z, returns Some (the result of doing so) *)
98             (* else if it's not possible to move any further up in z, returns None *)
99             (* else returns move_right_or_up (result of moving up in z) *)
100
101 <!--
102             let {level; filler} = z
103             in match level with
104             | Starring_Left {parent; sibling = right} -> Some {level = Starring_Right {parent; sibling = filler}; filler = right}
105             | Root -> None
106             | Starring_Right {parent; sibling = left} ->
107                 let z' = {level = parent; filler = Node(left, filler)}
108                 in move_right_or_up z'
109             ;;
110 -->
111
112 The following function takes an `'a tree` and returns an `'a zipper` focused on its root:
113
114         let new_zipper (t : 'a tree) : 'a zipper =
115             {level = Root; filler = t}
116             ;;
117
118 Finally, we can use a mutable reference cell to define a function that enumerates a tree's fringe until it's exhausted:
119
120         let make_fringe_enumerator (t: 'a tree) =
121             (* create a zipper targetting the botleft of t *)
122             let zbotleft = move_botleft (new_zipper t)
123             (* create a refcell initially pointing to zbotleft *)
124             in let zcell = ref (Some zbotleft)
125             (* construct the next_leaf function *)
126             in let next_leaf () : 'a option =
127                 match !zcell with
128                 | Some z -> (
129                     (* extract label of currently-targetted leaf *)
130                     let Leaf current = z.filler
131                     (* update zcell to point to next leaf, if there is one *)
132                     in let () = zcell := match move_right_or_up z with
133                         | None -> None
134                         | Some z' -> Some (move_botleft z')
135                     (* return saved label *)
136                     in Some current
137                 | None -> (* we've finished enumerating the fringe *)
138                     None
139                 )
140             (* return the next_leaf function *)
141             in next_leaf
142             ;;
143
144 Here's an example of `make_fringe_enumerator` in action:
145
146         # let tree1 = Leaf 1;;
147         val tree1 : int tree = Leaf 1
148         # let next1 = make_fringe_enumerator tree1;;
149         val next1 : unit -> int option = <fun>
150         # next1 ();;
151         - : int option = Some 1
152         # next1 ();;
153         - : int option = None
154         # next1 ();;
155         - : int option = None
156         # let tree2 = Node (Node (Leaf 1, Leaf 2), Leaf 3);;
157         val tree2 : int tree = Node (Node (Leaf 1, Leaf 2), Leaf 3)
158         # let next2 = make_fringe_enumerator tree2;;
159         val next2 : unit -> int option = <fun>
160         # next2 ();;
161         - : int option = Some 1
162         # next2 ();;
163         - : int option = Some 2
164         # next2 ();;
165         - : int option = Some 3
166         # next2 ();;
167         - : int option = None
168         # next2 ();;
169         - : int option = None
170
171 You might think of it like this: `make_fringe_enumerator` returns a little subprogram that will keep returning the next leaf in a tree's fringe, in the form `Some ...`, until it gets to the end of the fringe. After that, it will keep returning `None`.
172
173 Using these fringe enumerators, we can write our `same_fringe` function like this:
174
175         let same_fringe (t1 : 'a tree) (t2 : 'a tree) : bool =
176             let next1 = make_fringe_enumerator t1
177             in let next2 = make_fringe_enumerator t2
178             in let rec loop () : bool =
179                 match next1 (), next2 () with
180                 | Some a, Some b when a = b -> loop ()
181                 | None, None -> true
182                 | _ -> false
183             in loop ()
184             ;;
185
186 The auxiliary `loop` function will keep calling itself recursively until a difference in the fringes has manifested itself---either because one fringe is exhausted before the other, or because the next leaves in the two fringes have different labels. If we get to the end of both fringes at the same time (`next1 (), next2 ()` matches the pattern `None, None`) then we've established that the trees do have the same fringe.
187
188 The technique illustrated here with our fringe enumerators is a powerful and important one. It's an example of what's sometimes called **cooperative threading**. A "thread" is a subprogram that the main computation spawns off. Threads are called "cooperative" when the code of the main computation and the thread fixes when control passes back and forth between them. (When the code doesn't control this---for example, it's determined by the operating system or the hardware in ways that the programmer can't predict---that's called "preemptive threading.") Cooperative threads are also sometimes called *coroutines* or *generators*.
189
190 With cooperative threads, one typically yields control to the thread, and then back again to the main program, multiple times. Here's the pattern in which that happens in our `same_fringe` function:
191
192         main program        next1 thread        next2 thread
193         ------------        ------------        ------------
194         start next1
195         (paused)            starting
196         (paused)            calculate first leaf
197         (paused)            <--- return it
198         start next2         (paused)            starting
199         (paused)            (paused)            calculate first leaf
200         (paused)            (paused)            <-- return it
201         compare leaves      (paused)            (paused)
202         call loop again     (paused)            (paused)
203         call next1 again    (paused)            (paused)
204         (paused)            calculate next leaf (paused)
205         (paused)            <-- return it       (paused)
206         ... and so on ...
207
208 If you want to read more about these kinds of threads, here are some links:
209
210 <!-- *  [[!wikipedia Computer_multitasking]]
211 *       [[!wikipedia Thread_(computer_science)]] -->
212
213 *       [[!wikipedia Coroutine]]
214 *       [[!wikipedia Iterator]]
215 *       [[!wikipedia Generator_(computer_science)]]
216 *       [[!wikipedia Fiber_(computer_science)]]
217 <!-- *  [[!wikipedia Green_threads]]
218 *       [[!wikipedia Protothreads]] -->
219
220 The way we built cooperative threads here crucially relied on two heavyweight tools. First, it relied on our having a data structure (the tree zipper) capable of being a static snapshot of where we left off in the tree whose fringe we're enumerating. Second, it relied on our using mutable reference cells so that we could update what the current snapshot (that is, tree zipper) was, so that the next invocation of the `next_leaf` function could start up again where the previous invocation left off.
221
222 It's possible to build cooperative threads without using those tools, however. Some languages have a native syntax for them. Here's how we'd write the same-fringe solution above using native coroutines in the language Lua:
223
224         > function fringe_enumerator (tree)
225             if tree.leaf then
226                 coroutine.yield (tree.leaf)
227             else
228                 fringe_enumerator (tree.left)
229                 fringe_enumerator (tree.right)
230             end
231         end
232         
233         > function same_fringe (tree1, tree2)
234             local next1 = coroutine.wrap (fringe_enumerator)
235             local next2 = coroutine.wrap (fringe_enumerator)
236             local function loop (leaf1, leaf2)
237                 if leaf1 or leaf2 then
238                     return leaf1 == leaf2 and loop( next1(), next2() )
239                 elseif not leaf1 and not leaf2 then
240                     return true
241                 else
242                     return false
243                 end
244             end
245             return loop (next1(tree1), next2(tree2))
246         end
247         
248         > return same_fringe ( {leaf=1}, {leaf=2} )
249         false
250         
251         > return same_fringe ( {leaf=1}, {leaf=1} )
252         true
253         
254         > return same_fringe ( {left = {leaf=1}, right = {left = {leaf=2}, right = {leaf=3}}},
255             {left = {left = {leaf=1}, right = {leaf=2}}, right = {leaf=3}} )
256         true
257
258 We're going to think about the underlying principles to this execution pattern, and instead learn how to implement it from scratch---without necessarily having zippers or dedicated native syntax to rely on.
259
260
261 ##Exceptions and Aborts##
262
263 To get a better understanding of how that execution pattern works, we'll add yet a second execution pattern to our plate, and then think about what they have in common.
264
265 While writing OCaml code, you've probably come across errors. In fact, you've probably come across errors of two sorts. One sort of error comes about when you've got syntax errors or type errors and the OCaml interpreter isn't even able to understand your code:
266
267         # let lst = [1; 2] in
268           "a" :: lst;;
269         Error: This expression has type int list
270                but an expression was expected of type string list
271
272 But you may also have encountered other kinds of error, that arise while your program is running. For example:
273
274         # 1/0;;
275         Exception: Division_by_zero.
276         # List.nth [1;2] 10;;
277         Exception: Failure "nth".
278
279 These "Exceptions" are **run-time errors**. OCaml will automatically detect some of them, like when you attempt to divide by zero. Other exceptions are *raised* by code. For instance, here is the implementation of `List.nth`:
280
281         let nth l n =
282           if n < 0 then invalid_arg "List.nth" else
283           let rec nth_aux l n =
284             match l with
285             | [] -> failwith "nth"
286             | a::l -> if n = 0 then a else nth_aux l (n-1)
287           in nth_aux l n
288
289 Notice the two clauses `invalid_arg "List.nth"` and `failwith "nth"`. These are two helper functions which are shorthand for:
290
291         raise (Invalid_argument "List.nth");;
292         raise (Failure "nth");;
293
294 where `Invalid_argument "List.nth"` is a value of type `exn`, and so too `Failure "nth"`. When you have some value `bad` of type `exn` and evaluate the expression:
295
296         raise bad
297
298 the effect is for the program to immediately stop without evaluating any further code:
299
300         # let xcell = ref 0;;
301         val xcell : int ref = {contents = 0}
302         # let bad = Failure "test"
303           in let _ = raise bad
304           in xcell := 1;;
305         Exception: Failure "test".
306         # !xcell;;
307         - : int = 0
308
309 Notice that the line `xcell := 1` was never evaluated, so the contents of `xcell` are still `0`.
310
311 I said when you evaluate the expression:
312
313         raise bad
314
315 the effect is for the program to immediately stop. That's not exactly true. You can also programmatically arrange to *catch* errors, without the program necessarily stopping. In OCaml we do that with a `try ... with PATTERN -> ...` construct, analogous to the `match ... with PATTERN -> ...` construct:
316
317         # let foo x =
318             try
319                 (if x = 1 then 10
320                 else if x = 2 then raise (Failure "two")
321                 else raise (Failure "three")
322                 ) + 100
323             with Failure "two" -> 20
324             ;;
325         val foo : int -> int = <fun>
326         # foo 1;;
327         - : int = 110
328         # foo 2;;
329         - : int = 20
330         # foo 3;;
331         Exception: Failure "three".
332
333 Notice what happens here. If we call `foo 1`, then the code between `try` and `with` evaluates to `110`, with no exceptions being raised. That then is what the entire `try ... with ...` block evaluates to; and so too what `foo 1` evaluates to. If we call `foo 2`, then the code between `try` and `with` raises an exception `Failure "two"`. The pattern in the `with` clause matches that exception, so we get instead `20`. If we call `foo 3`, we again raise an exception. This exception isn't matched by the `with` block, so it percolates up to the top of the program, and then the program immediately stops.
334
335 So what I should have said is that when you evaluate the expression:
336
337         raise bad
338
339 *and that exception is never caught*, then the effect is for the program to immediately stop.
340
341 Trivia: what's the type of the `raise (Failure "two")` in:
342
343         if x = 1 then 10
344         else raise (Failure "two")
345
346 What's its type in:
347
348         if x = 1 then "ten"
349         else raise (Failure "two")
350
351 So now what do you expect the type of this to be:
352
353         fun x -> raise (Failure "two")
354
355 How about this:
356
357         (fun x -> raise (Failure "two") : 'a -> 'a)
358
359 Remind you of anything we discussed earlier? /Trivia.
360
361 Of course, it's possible to handle errors in other ways too. There's no reason why the implementation of `List.nth` *had* to raise an exception. They might instead have returned `Some a` when the list had an nth member `a`, and `None` when it does not. But it's pedagogically useful for us to think about the exception-raising pattern now.
362
363 When an exception is raised, it percolates up through the code that called it, until it finds a surrounding `try ... with ...` that matches it. That might not be the first `try ... with ...` that it encounters. For example:
364
365         # try
366             try
367                 (raise (Failure "blah")
368                 ) + 100
369             with Failure "fooey" -> 10
370           with Failure "blah" -> 20;;
371         - : int = 20
372
373 The matching `try ... with ...` block need not *lexically surround* the site where the error was raised:
374
375         # let foo b x =
376             try
377                 (b x
378                 ) + 100
379             with Failure "blah" -> 20
380         in let bar x =
381             raise (Failure "blah")
382         in foo bar 0;;
383         - : int = 20
384
385 Here we call `foo bar 0`, and `foo` in turn calls `bar 0`, and `bar` raises the exception. Since there's no matching `try ... with ...` block in `bar`, we percolate back up the history of who called that function, and we find a matching `try ... with ...` block in `foo`. This catches the error and so then the `try ... with ...` block in `foo` (the code that called `bar` in the first place) will evaluate to `20`.
386
387 OK, now this exception-handling apparatus does exemplify the second execution pattern we want to focus on. But it may bring it into clearer focus if we simplify the pattern even more. Imagine we could write code like this instead:
388
389         # let foo x =
390             try begin
391                 (if x = 1 then 10
392                 else abort 20
393                 ) + 100
394             end
395             ;;
396
397 then if we called `foo 1`, we'd get the result `110`. If we called `foo 2`, on the other hand, we'd get `20` (note, not `120`). This exemplifies the same interesting "jump out of this part of the code" behavior that the `try ... raise ... with ...` code does, but without the details of matching which exception was raised, and handling the exception to produce a new result.
398
399 Many programming languages have this simplified exceution pattern, either instead of or alongside a `try ... with ...`-like pattern. In Lua and many other languages, `abort` is instead called `return`. In Lua, the preceding example would be written:
400
401         > function foo(x)
402             local value
403             if (x == 1) then
404                 value = 10
405             else
406                 return 20         -- abort early
407             end
408             return value + 100    -- in Lua, a function's normal value
409                                   -- must always also be explicitly returned
410         end
411         
412         > return foo(1)
413         110
414         
415         > return foo(2)
416         20
417
418 Okay, so that's our second execution pattern.
419
420 ##What do these have in common?##
421
422 In both of these patterns, we need to have some way to take a snapshot of where we are in the evaluation of a complex piece of code, so that we might later resume execution at that point. In the coroutine example, the two threads need to have a snapshot of where they were in the enumeration of their tree's leaves. In the abort example, we need to have a snapshot of where to pick up again if some embedded piece of code aborts. Sometimes we might distill that snapshot into a data structure like a zipper. But we might not always know how to do so; and learning how to think about these snapshots without the help of zippers will help us see patterns and similarities we might otherwise miss.
423
424 A more general way to think about these snapshots is to think of the code we're taking a snapshot of as a *function.* For example, in this code:
425
426         let foo x =
427             try begin
428                 (if x = 1 then 10
429                 else abort 20
430                 ) + 100
431             end
432         in (foo 2) + 1;;
433
434 we can imagine a box:
435
436         let foo x =
437         +---try begin----------------+
438         |       (if x = 1 then 10    |
439         |       else abort 20        |
440         |       ) + 100              |
441         +---end----------------------+
442         in (foo 2) + 1000;;
443
444 and as we're about to enter the box, we want to take a snapshot of the code *outside* the box. If we decide to abort, we'd be aborting *to* that snapshotted code.
445
446
447 What would a "snapshot of the code outside the box" look like? Well, let's rearrange the code somewhat. It should be equivalent to this:
448
449         let x = 2
450         in let foo_result =
451         +---try begin----------------+
452         |       (if x = 1 then 10    |
453         |       else abort 20        |
454         |       ) + 100              |
455         +---end----------------------+
456         in (foo_result) + 1000;;
457
458 and we can think of the code starting with `let foo_result = ...` as a function, with the box being its parameter, like this:
459
460         fun box ->
461             let foo_result = box
462             in (foo_result) + 1000
463
464 That function is our "snapshot". Normally what happens is that code *inside* the box delivers up a value, and that value gets supplied as an argument to the snapshot-function just described. That is, our code is essentially working like this:
465
466         let x = 2
467         in let snapshot = fun box ->
468             let foo_result = box
469             in (foo_result) + 1000
470         in let value =
471             (if x = 1 then 10
472             else ... (* we'll come back to this part *)
473             ) + 100
474         in shapshot value;;
475
476 But now how should the `abort 20` part, that we ellided here, work? What should happen when we try to evaluate that?
477
478 Well, that's when we use the snapshot code in an unusual way. If we encounter an `abort 20`, we should abandon the code we're currently executing, and instead just supply `20` to the snapshot we saved when we entered the box. That is, something like this:
479
480         let x = 2
481         in let snapshot = fun box ->
482             let foo_result = box
483             in (foo_result) + 1000
484         in let value =
485             (if x = 1 then 10
486             else snapshot 20
487             ) + 100
488         in shapshot value;;
489
490 Except that isn't quite right, yet---in this fragment, after the `snapshot 20` code is finished, we'd pick up again inside `let value = (...) + 100 in snapshot value`. That's not what we want. We don't want to pick up again there. We want instead to do this:
491
492         let x = 2
493         in let snapshot = fun box ->
494             let foo_result = box
495             in (foo_result) + 1000
496         in let value =
497             (if x = 1 then 10
498             else snapshot 20 THEN STOP
499             ) + 100
500         in shapshot value;;
501
502 We can get that by some further rearranging of the code:
503
504         let x = 2
505         in let snapshot = fun box ->
506             let foo_result = box
507             in (foo_result) + 1000
508         in let continue_normally = fun from_value ->
509             let value = from_value + 100
510             in snapshot value
511         in
512             if x = 1 then continue_normally 10
513             else snapshot 20;;
514
515 And this is indeed what is happening, at a fundamental level, when you use an expression like `abort 20`.
516
517 <!--
518 # #require "delimcc";;
519 # open Delimcc;;
520 # let reset body = let p = new_prompt () in push_prompt p (body p);;
521 # let test_cps x =
522       let snapshot = fun box ->
523           let foo_result = box
524           in (foo_result) + 1000
525       in let continue_normally = fun from_value ->
526           let value = from_value + 100
527           in snapshot value
528       in if x = 1 then continue_normally 10
529       else snapshot 20;;
530
531         let foo x =
532         +===try begin================+
533         |       (if x = 1 then 10    |
534         |       else abort 20        |
535         |       ) + 100              |
536         +===end======================+
537         in (foo 2) + 1000;;
538
539 # let test_shift x =
540     let foo x = reset(fun p () ->
541         (shift p (fun k ->
542             if x = 1 then k 10 else 20)
543         ) + 100)
544     in foo z + 1000;;
545
546 # test_cps 1;;
547 - : int = 1110
548 # test_shift 1;;
549 - : int = 1110
550 # test_cps 2;;
551 - : int = 1020
552 # test_shift 2;;
553 - : int = 1020
554 -->
555
556 A similar kind of "snapshotting" lets coroutines keep track of where they left off, so that they can start up again at that same place.
557
558 ##Continuations, finally##
559
560 These snapshots are called **continuations** because they represent how the computation will "continue" once some target code (in our example, the code in the box) delivers up a value.
561
562 You can think of them as functions that represent "how the rest of the computation proposes to continue." Except that, once we're able to get our hands on those functions, we can do exotic and unwholesome things with them. Like use them to suspend and resume a thread. Or to abort from deep inside a sub-computation: one function might pass the command to abort *it* to a subfunction, so that the subfunction has the power to jump directly to the outside caller. Or a function might *return* its continuation function to the outside caller, giving *the outside caller* the ability to "abort" the function (the function that has already returned its value---so what should happen then?) Or we may call the same continuation function *multiple times* (what should happen then?). All of these weird and wonderful possibilities await us.
563
564 The key idea behind working with continuations is that we're *inverting control*. In the fragment above, the code `(if x = 1 then ... else snapshot 20) + 100`---which is written as if it were to supply a value to the outside context that we snapshotted---itself *makes non-trivial use of* that snapshot. So it has to be able to refer to that snapshot; the snapshot has to somehow be available to our inside-the-box code as an *argument* or bound variable. That is: the code that is *written* like it's supplying an argument to the outside context is instead *getting that context as its own argument*. He who is written as value-supplying slave is instead become the outer context's master.
565
566 In fact you've already seen this several times this semester---recall how in our implementation of pairs in the untyped lambda-calculus, the handler who wanted to use the pair's components had *in the first place to be supplied to the pair as an argument*. So the exotica from the end of the seminar was already on the scene in some of our earliest steps. Recall also what we did with v2 and v5 lists. Version 5 lists were the ones that let us abort a fold early: 
567 go back and re-read the material on "Aborting a Search Through a List" in [[Week4]].
568
569 This inversion of control should also remind you of Montague's treatment of determiner phrases in ["The Proper Treatment of Quantification in Ordinary English"](http://www.blackwellpublishing.com/content/BPL_Images/Content_store/Sample_chapter/0631215417%5CPortner.pdf) (PTQ).
570
571 A naive semantics for atomic sentences will say the subject term is of type `e`, and the predicate of type `e -> t`, and that the subject provides an argument to the function expressed by the predicate.
572
573 Monatague proposed we instead take the subject term to be of type `(e -> t) -> t`, and that now it'd be the predicate (still of type `e -> t`) that provides an argument to the function expressed by the subject.
574
575 If all the subject did then was supply an `e` to the `e -> t` it receives as an argument, we wouldn't have gained anything we weren't already able to do. But of course, there are other things the subject can do with the `e -> t` it receives as an argument. For instance, it can check whether anything in the domain satisfies that `e -> t`; or whether most things do; and so on.
576
577 This inversion of who is the argument and who is the function receiving the argument is paradigmatic of working with continuations.
578
579 Continuations come in many varieties. There are **undelimited continuations**, expressed in Scheme via `(call/cc (lambda (k) ...))` or the shorthand `(let/cc k ...)`. (`call/cc` is itself shorthand for `call-with-current-continuation`.) These capture "the entire rest of the computation." There are also **delimited continuations**, expressed in Scheme via `(reset ... (shift k ...) ...)` or `(prompt ... (control k ...) ...)` or any of several other operations. There are subtle differences between those that we won't be exploring in the seminar. Ken Shan has done terrific work exploring the relations of these operations to each other.
580
581 When working with continuations, it's easiest in the first place to write them out explicitly, the way that we explicitly wrote out the `snapshot` continuation when we transformed this:
582
583         let foo x =
584             try begin
585                 (if x = 1 then 10
586                 else abort 20
587                 ) + 100
588             end
589         in (foo 2) + 1000;;
590
591 into this:
592
593         let x = 2
594         in let snapshot = fun box ->
595             let foo_result = box
596             in (foo_result) + 1000
597         in let continue_normally = fun from_value ->
598             let value = from_value + 100
599             in snapshot value
600         in
601             if x = 1 then continue_normally 10
602             else snapshot 20;;
603
604 Code written in the latter form is said to be written in **explicit continuation-passing style** or CPS. Later we'll talk about algorithms that mechanically convert an entire program into CPS.
605
606 There are also different kinds of "syntactic sugar" we can use to hide the continuation plumbing. Of course we'll be talking about how to manipulate continuations **with a Continuation monad.** We'll also talk about a style of working with continuations where they're **mostly implicit**, but special syntax allows us to distill the implicit continuaton into a first-class value (the `k` in `(let/cc k ...)` and `(shift k ...)`.
607
608 Various of the tools we've been introducing over the past weeks are inter-related. We saw coroutines implemented first with zippers; here we've talked in the abstract about their being implemented with continuations. Oleg says that "Zipper can be viewed as a delimited continuation reified as a data structure." Ken expresses the same idea in terms of a zipper being a "defunctionalized" continuation---that is, take something implemented as a function (a continuation) and implement the same thing as an inert data structure (a zipper).
609
610 Mutation, delimited continuations, and monads can also be defined in terms of each other in various ways. We find these connections fascinating but the seminar won't be able to explore them very far.
611
612 We recommend reading [the Yet Another Haskell Tutorial on Continuation Passing Style](http://en.wikibooks.org/wiki/Haskell/YAHT/Type_basics#Continuation_Passing_Style)---though the target language is Haskell, this discussion is especially close to material we're discussing in the seminar.
613