assignment5.mdwn

   1 Assignment 5
   2
   3 Types and OCaml
   4 ---------------
   5
   6 0.      Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
   7         Give two different typings for this function in OCaml.
   8         To get you started, here's one typing for K:
   9
  10                 # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
  11                 val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
  12                 # k 1 true;;
  13                 - : int = 1
  14
  15
  16 1.      Which of the following expressions is well-typed in OCaml?
  17         For those that are, give the type of the expression as a whole.
  18         For those that are not, why not?
  19
  20                 let rec f x = f x;;
  21
  22                 let rec f x = f f;;
  23
  24                 let rec f x = f x in f f;;
  25
  26                 let rec f x = f x in f ();;
  27
  28                 let rec f () = f f;;
  29
  30                 let rec f () = f ();;
  31
  32                 let rec f () = f () in f f;;
  33
  34                 let rec f () = f () in f ();;
  35
  36 2.      Throughout this problem, assume that we have
  37
  38                 let rec blackhole x = blackhole x;;
  39
  40         All of the following are well-typed.
  41         Which ones terminate?  What are the generalizations?
  42
  43                 blackhole;;
  44
  45                 blackhole ();;
  46
  47                 fun () -> blackhole ();;
  48
  49                 (fun () -> blackhole ()) ();;
  50
  51                 if true then blackhole else blackhole;;
  52
  53                 if false then blackhole else blackhole;;
  54
  55                 if true then blackhole else blackhole ();;
  56
  57                 if false then blackhole else blackhole ();;
  58
  59                 if true then blackhole () else blackhole;;
  60
  61                 if false then blackhole () else blackhole;;
  62
  63                 if true then blackhole () else blackhole ();;
  64
  65                 if false then blackhole () else blackhole ();;
  66
  67                 let _ = blackhole in 2;;
  68
  69                 let _ = blackhole () in 2;;
  70
  71 3.      This problem is to begin thinking about controlling order of evaluation.
  72 The following expression is an attempt to make explicit the
  73 behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
  74 The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
  75 other expression types.  So assume that "yes" is any OCaml expression,
  76 and "no" is any other OCaml expression (of the same type as "yes"!),
  77 and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
  78 "if bool then yes else no" should be equivalent to
  79
  80                 let b = bool in
  81                 let y = yes in
  82                 let n = no in
  83                 match b with true -> y | false -> n
  84
  85         This almost works.  For instance,
  86
  87                 if true then 1 else 2;;
  88
  89         evaluates to 1, and
  90
  91                 let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
  92                 match b with true -> y | false -> n;;
  93
  94         also evaluates to 1.  Likewise,
  95
  96                 if false then 1 else 2;;
  97
  98         and
  99
 100                 let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
 101                 match b with true -> y | false -> n;;
 102
 103         both evaluate to 2.
 104
 105         However,
 106
 107                 let rec blackhole x = blackhole x in
 108                 if true then blackhole else blackhole ();;
 109
 110         terminates, but
 111
 112                 let rec blackhole x = blackhole x in
 113                 let b = true in
 114                 let y = blackhole in
 115                 let n = blackhole () in
 116                 match b with true -> y | false -> n;;
 117
 118         does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
 119         false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
 120         without using the magical evaluation order properties of either `if`
 121         or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
 122         you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
 123
 124         [[Hint assignment 5 problem 3]]
 125
 126 Booleans, Church numerals, and v3 lists in OCaml
 127 ------------------------------------------------
 128
 129 (These questions adapted from web materials by Umut Acar. See <http://www.mpi-sws.org/~umut/>.)
 130
 131 Let's think about the encodings of booleans, numerals and lists in System F, and get datastructures with the same explicit form working in OCaml. (The point... so we won't rely on OCaml's native booleans, integers, or lists.)
 132
 133 Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
 134
 135         types τ ::= c | 'a | τ1 → τ2 | ∀'a. τ
 136         expressions e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λ'a. e | e [τ]
 137
 138 The boolean type, and its two values, may be encoded as follows:
 139
 140         bool := ∀'a. 'a → 'a → 'a
 141         true := Λ'a. λt:'a. λf :'a. t
 142         false := Λ'a. λt:'a. λf :'a. f
 143
 144 It's used like this:
 145
 146         b [τ] e1 e2
 147
 148 where b is a boolean value, and τ is the shared type of e1 and e2.
 149
 150 **Exercise**. How should we implement the following terms. Note that the result of applying them to the appropriate arguments should also give us a term of type bool.
 151
 152 (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
 153 (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
 154 (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
 155
 156
 157 The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:
 158
 159         nat := ∀'a. 'a → ('a → 'a) → 'a
 160         zero := Λ'a. λz:'a. λs:'a → 'a. z
 161         succ := λn:nat. Λ'a. λz:'a. λs:'a → 'a. s (n ['a] z s)
 162
 163 A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n
 164 times. In the polymorphic encoding above, the result of that iteration can be
 165 any type 'a, as long as you have a base element z : 'a and a function s : 'a → 'a.
 166
 167 **Excercise**: get booleans and Church numbers working in OCaml,
 168 including OCaml versions of bool, true, false, zero, succ, add.
 169
 170 Consider the following list type:
 171
 172         type 'a list = Nil | Cons of 'a * 'a list
 173
 174 We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:
 175
 176         τ list := ∀'a. 'a → (τ → 'a → 'a) → 'a
 177         nilτ := Λ'a. λn:'a. λc:τ → 'a → 'a. n
 178         makeListτ := λh:τ. λt:τ list. Λ'a. λn:'a. λc:τ → 'a → 'a. c h (t ['a] n c)
 179
 180 As with nats, recursion is built into the datatype.
 181
 182 We can write functions like map:
 183
 184         map : (σ → τ ) → σ list → τ list
 185                 = λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y
 186
 187 **Excercise** convert this function to OCaml.  Also write an `append` function.
 188 Test with simple lists.
 189
 190 Consider the following simple binary tree type:
 191
 192         type 'a tree = Leaf | Node of 'a tree * 'a * 'a tree
 193
 194 **Excercise**
 195 Write a function `sumLeaves` that computes the sum of all the
 196 leaves in an int tree.
 197
 198 Write a function `inOrder` : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
 199 may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.
 200
 201 Baby monads
 202 -----------
 203
 204 Read the lecture notes for week 6, then write a
 205 function `lift'` that generalized the correspondence between + and
 206 `add'`: that is, `lift'` takes any two-place operation on integers
 207 and returns a version that takes arguments of type `int option`
 208 instead, returning a result of `int option`.  In other words,
 209 `lift'` will have type
 210
 211         (int -> int -> int) -> (int option) -> (int option) -> (int option)
 212
 213 so that `lift' (+) (Some 3) (Some 4)` will evalute to `Some 7`.
 214 Don't worry about why you need to put `+` inside of parentheses.
 215 You should make use of `bind'` in your definition of `lift'`:
 216
 217         let bind' (x: int option) (f: int -> (int option)) =
 218                 match x with None -> None | Some n -> f n;;
 219
 220