assignment5.mdwn

   1 Assignment 5
   2
   3 Types and OCaml
   4 ---------------
   5
   6 0.      Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
   7         Give two different typings for this function in OCaml.
   8         To get you started, here's one typing for K:
   9
  10                 # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
  11                 val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
  12                 # k 1 true;;
  13                 - : int = 1
  14
  15
  16 1.      Which of the following expressions is well-typed in OCaml? For those that
  17         are, give the type of the expression as a whole. For those that are not, why
  18         not?
  19
  20                 let rec f x = f x;;
  21
  22                 let rec f x = f f;;
  23
  24                 let rec f x = f x in f f;;
  25
  26                 let rec f x = f x in f ();;
  27
  28                 let rec f () = f f;;
  29
  30                 let rec f () = f ();;
  31
  32                 let rec f () = f () in f f;;
  33
  34                 let rec f () = f () in f ();;
  35
  36 2.      Throughout this problem, assume that we have
  37
  38                 let rec blackhole x = blackhole x;;
  39
  40         All of the following are well-typed.
  41         Which ones terminate?  What are the generalizations?
  42
  43                 blackhole;;
  44
  45                 blackhole ();;
  46
  47                 fun () -> blackhole ();;
  48
  49                 (fun () -> blackhole ()) ();;
  50
  51                 if true then blackhole else blackhole;;
  52
  53                 if false then blackhole else blackhole;;
  54
  55                 if true then blackhole else blackhole ();;
  56
  57                 if false then blackhole else blackhole ();;
  58
  59                 if true then blackhole () else blackhole;;
  60
  61                 if false then blackhole () else blackhole;;
  62
  63                 if true then blackhole () else blackhole ();;
  64
  65                 if false then blackhole () else blackhole ();;
  66
  67                 let _ = blackhole in 2;;
  68
  69                 let _ = blackhole () in 2;;
  70
  71 3.      This problem is to begin thinking about controlling order of evaluation.
  72 The following expression is an attempt to make explicit the
  73 behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
  74 The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
  75 other expression types.  So assume that "yes" is any OCaml expression,
  76 and "no" is any other OCaml expression (of the same type as "yes"!),
  77 and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
  78 "if bool then yes else no" should be equivalent to
  79
  80                 let b = bool in
  81                 let y = yes in
  82                 let n = no in
  83                 match b with true -> y | false -> n
  84
  85         This almost works.  For instance,
  86
  87                 if true then 1 else 2;;
  88
  89         evaluates to 1, and
  90
  91                 let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
  92                 match b with true -> y | false -> n;;
  93
  94         also evaluates to 1.  Likewise,
  95
  96                 if false then 1 else 2;;
  97
  98         and
  99
 100                 let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
 101                 match b with true -> y | false -> n;;
 102
 103         both evaluate to 2.
 104
 105         However,
 106
 107                 let rec blackhole x = blackhole x in
 108                 if true then blackhole else blackhole ();;
 109
 110         terminates, but
 111
 112                 let rec blackhole x = blackhole x in
 113                 let b = true in
 114                 let y = blackhole in
 115                 let n = blackhole () in
 116                 match b with true -> y | false -> n;;
 117
 118         does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
 119         false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
 120         without using the magical evaluation order properties of either `if`
 121         or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
 122         you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
 123
 124         [[hints/assignment 5 hint 1]]
 125
 126 Booleans, Church numerals, and v3 lists in OCaml
 127 ------------------------------------------------
 128
 129 (These questions adapted from web materials by Umut Acar. See
 130 <http://www.mpi-sws.org/~umut/>.)
 131
 132 Let's think about the encodings of booleans, numerals and lists in System F,
 133 and get data-structures with the same form working in OCaml. (Of course, OCaml
 134 has *native* versions of these datas-structures: its `true`, `1`, and `[1;2;3]`.
 135 But the point of our exercise requires that we ignore those.)
 136
 137 Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
 138
 139         types τ ::= c | 'a | τ1 → τ2 | ∀'a. τ
 140         expressions e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λ'a. e | e [τ]
 141
 142 The boolean type, and its two values, may be encoded as follows:
 143
 144         bool := ∀'a. 'a → 'a → 'a
 145         true := Λ'a. λt:'a. λf :'a. t
 146         false := Λ'a. λt:'a. λf :'a. f
 147
 148 It's used like this:
 149
 150         b [τ] e1 e2
 151
 152 where b is a boolean value, and τ is the shared type of e1 and e2.
 153
 154 **Exercise**. How should we implement the following terms. Note that the result
 155 of applying them to the appropriate arguments should also give us a term of
 156 type bool.
 157
 158 (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
 159 (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
 160 (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
 161
 162
 163 The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:
 164
 165         nat := ∀'a. 'a → ('a → 'a) → 'a
 166         zero := Λ'a. λz:'a. λs:'a → 'a. z
 167         succ := λn:nat. Λ'a. λz:'a. λs:'a → 'a. s (n ['a] z s)
 168
 169 A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n
 170 times. In the polymorphic encoding above, the result of that iteration can be
 171 any type 'a, as long as you have a base element z : 'a and a function s : 'a → 'a.
 172
 173 **Exercise**: get booleans and Church numbers working in OCaml,
 174 including OCaml versions of bool, true, false, zero, iszero, succ, and pred.
 175 It's especially useful to do a version of pred, starting with one
 176 of the (untyped) versions available in the lambda library
 177 accessible from the main wiki page.  The point of the excercise
 178 is to do these things on your own, so avoid using the built-in
 179 OCaml booleans and integers.
 180
 181 Consider the following list type:
 182
 183         type 'a list = Nil | Cons of 'a * 'a list
 184
 185 We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:
 186
 187         τ list := ∀'a. 'a → (τ → 'a → 'a) → 'a
 188         nil τ := Λ'a. λn:'a. λc:τ → 'a → 'a. n
 189         make_list τ := λh:τ. λt:τ list. Λ'a. λn:'a. λc:τ → 'a → 'a. c h (t ['a] n c)
 190
 191 More generally, the polymorphic list type is:
 192
 193         list := ∀'b. ∀'a. 'a → ('b → 'a → 'a) → 'a
 194
 195 As with nats, recursion is built into the datatype.
 196
 197 We can write functions like map:
 198
 199         map : (σ → τ ) → σ list → τ list
 200
 201 <!--
 202                 = λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nil τ (λx:σ. λy:τ list. make_list τ (f x) y
 203 -->
 204
 205 **Excercise** convert this function to OCaml. We've given you the type; you
 206 only need to give the term.
 207
 208 Also give us the type and definition for a `head` function. Think about what
 209 value to give back if the argument is the empty list.  Ultimately, we might
 210 want to make use of our `'a option` technique, but for this assignment, just
 211 pick a strategy, no matter how clunky.
 212
 213 Be sure to test your proposals with simple lists. (You'll have to `make_list`
 214 the lists yourself; don't expect OCaml to magically translate between its
 215 native lists and the ones you buil.d)
 216
 217
 218 <!--
 219 Consider the following simple binary tree type:
 220
 221         type 'a tree = Leaf | Node of 'a tree * 'a * 'a tree
 222
 223 **Excercise**
 224 Write a function `sum_leaves` that computes the sum of all the leaves in an int
 225 tree.
 226
 227 Write a function `in_order` : τ tree → τ list that computes the in-order
 228 traversal of a binary tree. You may assume the above encoding of lists; deﬁne
 229 any auxiliary functions you need.
 230 -->
 231
 232
 233 Baby monads
 234 -----------
 235
 236 Read the material on dividing by zero/towards monads from <strike>the end of lecture
 237 notes for week 6</strike> the start of lecture notes for week 7, then write a function `lift'` that generalized the
 238 correspondence between + and `add'`: that is, `lift'` takes any two-place
 239 operation on integers and returns a version that takes arguments of type `int
 240 option` instead, returning a result of `int option`.  In other words, `lift'`
 241 will have type:
 242
 243         (int -> int -> int) -> (int option) -> (int option) -> (int option)
 244
 245 so that `lift' (+) (Some 3) (Some 4)` will evalute to `Some 7`.
 246 Don't worry about why you need to put `+` inside of parentheses.
 247 You should make use of `bind'` in your definition of `lift'`:
 248
 249         let bind' (u: int option) (f: int -> (int option)) =
 250                 match u with None -> None | Some x -> f x;;
 251
 252