1 Assignment 5
3 Types and OCaml
4 ---------------
6 0.      Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
7         Give two different typings for this function in OCaml.
8         To get you started, here's one typing for K:
10                 # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
11                 val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
12                 # k 1 true;;
13                 - : int = 1
16 1.      Which of the following expressions is well-typed in OCaml? For those that
17         are, give the type of the expression as a whole. For those that are not, why
18         not?
20                 let rec f x = f x;;
22                 let rec f x = f f;;
24                 let rec f x = f x in f f;;
26                 let rec f x = f x in f ();;
28                 let rec f () = f f;;
30                 let rec f () = f ();;
32                 let rec f () = f () in f f;;
34                 let rec f () = f () in f ();;
36 2.      Throughout this problem, assume that we have
38                 let rec blackhole x = blackhole x;;
40         All of the following are well-typed.
41         Which ones terminate?  What are the generalizations?
43                 blackhole;;
45                 blackhole ();;
47                 fun () -> blackhole ();;
49                 (fun () -> blackhole ()) ();;
51                 if true then blackhole else blackhole;;
53                 if false then blackhole else blackhole;;
55                 if true then blackhole else blackhole ();;
57                 if false then blackhole else blackhole ();;
59                 if true then blackhole () else blackhole;;
61                 if false then blackhole () else blackhole;;
63                 if true then blackhole () else blackhole ();;
65                 if false then blackhole () else blackhole ();;
67                 let _ = blackhole in 2;;
69                 let _ = blackhole () in 2;;
71 3.      This problem is to begin thinking about controlling order of evaluation.
72 The following expression is an attempt to make explicit the
73 behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
74 The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
75 other expression types.  So assume that "yes" is any OCaml expression,
76 and "no" is any other OCaml expression (of the same type as "yes"!),
77 and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
78 "if bool then yes else no" should be equivalent to
80                 let b = bool in
81                 let y = yes in
82                 let n = no in
83                 match b with true -> y | false -> n
85         This almost works.  For instance,
87                 if true then 1 else 2;;
89         evaluates to 1, and
91                 let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
92                 match b with true -> y | false -> n;;
94         also evaluates to 1.  Likewise,
96                 if false then 1 else 2;;
98         and
100                 let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
101                 match b with true -> y | false -> n;;
103         both evaluate to 2.
105         However,
107                 let rec blackhole x = blackhole x in
108                 if true then blackhole else blackhole ();;
110         terminates, but
112                 let rec blackhole x = blackhole x in
113                 let b = true in
114                 let y = blackhole in
115                 let n = blackhole () in
116                 match b with true -> y | false -> n;;
118         does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
119         false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
120         without using the magical evaluation order properties of either `if`
121         or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
122         you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
124         [[hints/assignment 5 hint 1]]
126 Booleans, Church numerals, and v3 lists in OCaml
127 ------------------------------------------------
129 (These questions adapted from web materials by Umut Acar. See
130 <http://www.mpi-sws.org/~umut/>.)
132 Let's think about the encodings of booleans, numerals and lists in System F,
133 and get data-structures with the same form working in OCaml. (Of course, OCaml
134 has *native* versions of these datas-structures: its `true`, `1`, and `[1;2;3]`.
135 But the point of our exercise requires that we ignore those.)
137 Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
139         types τ ::= c | 'a | τ1 → τ2 | ∀'a. τ
140         expressions e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λ'a. e | e [τ]
142 The boolean type, and its two values, may be encoded as follows:
144         bool := ∀'a. 'a → 'a → 'a
145         true := Λ'a. λt:'a. λf :'a. t
146         false := Λ'a. λt:'a. λf :'a. f
148 It's used like this:
150         b [τ] e1 e2
152 where b is a boolean value, and τ is the shared type of e1 and e2.
154 **Exercise**. How should we implement the following terms. Note that the result
155 of applying them to the appropriate arguments should also give us a term of
156 type bool.
158 (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
159 (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
160 (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
163 The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:
165         nat := ∀'a. 'a → ('a → 'a) → 'a
166         zero := Λ'a. λz:'a. λs:'a → 'a. z
167         succ := λn:nat. Λ'a. λz:'a. λs:'a → 'a. s (n ['a] z s)
169 A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n
170 times. In the polymorphic encoding above, the result of that iteration can be
171 any type 'a, as long as you have a base element z : 'a and a function s : 'a → 'a.
173 **Exercise**: get booleans and Church numbers working in OCaml,
174 including OCaml versions of bool, true, false, zero, iszero, succ, and pred.
175 It's especially useful to do a version of pred, starting with one
176 of the (untyped) versions available in the lambda library
177 accessible from the main wiki page.  The point of the excercise
178 is to do these things on your own, so avoid using the built-in
179 OCaml booleans and integers.
181 Consider the following list type:
183         type 'a list = Nil | Cons of 'a * 'a list
185 We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:
187         τ list := ∀'a. 'a → (τ → 'a → 'a) → 'a
188         nil τ := Λ'a. λn:'a. λc:τ → 'a → 'a. n
189         make_list τ := λh:τ. λt:τ list. Λ'a. λn:'a. λc:τ → 'a → 'a. c h (t ['a] n c)
191 More generally, the polymorphic list type is:
193         list := ∀'b. ∀'a. 'a → ('b → 'a → 'a) → 'a
195 As with nats, recursion is built into the datatype.
197 We can write functions like map:
199         map : (σ → τ ) → σ list → τ list
201 <!--
202                 = λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nil τ (λx:σ. λy:τ list. make_list τ (f x) y
203 -->
205 **Excercise** convert this function to OCaml. We've given you the type; you
206 only need to give the term.
208 Also give us the type and definition for a `head` function. Think about what
209 value to give back if the argument is the empty list.  Ultimately, we might
210 want to make use of our `'a option` technique, but for this assignment, just
211 pick a strategy, no matter how clunky.
213 Be sure to test your proposals with simple lists. (You'll have to `make_list`
214 the lists yourself; don't expect OCaml to magically translate between its
215 native lists and the ones you buil.d)
218 <!--
219 Consider the following simple binary tree type:
221         type 'a tree = Leaf | Node of 'a tree * 'a * 'a tree
223 **Excercise**
224 Write a function `sum_leaves` that computes the sum of all the leaves in an int
225 tree.
227 Write a function `in_order` : τ tree → τ list that computes the in-order
228 traversal of a binary tree. You may assume the above encoding of lists; deﬁne
229 any auxiliary functions you need.
230 -->