assignment5.mdwn

   1 Assignment 5
   2
   3 Types and OCaml
   4 ---------------
   5
   6 0.      Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
   7         Give two different typings for this function in OCaml.
   8         To get you started, here's one typing for K:
   9
  10                 # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
  11                 val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
  12                 # k 1 true;;
  13                 - : int = 1
  14
  15
  16 1.      Which of the following expressions is well-typed in OCaml?
  17         For those that are, give the type of the expression as a whole.
  18         For those that are not, why not?
  19
  20                 let rec f x = f x;;
  21
  22                 let rec f x = f f;;
  23
  24                 let rec f x = f x in f f;;
  25
  26                 let rec f x = f x in f ();;
  27
  28                 let rec f () = f f;;
  29
  30                 let rec f () = f ();;
  31
  32                 let rec f () = f () in f f;;
  33
  34                 let rec f () = f () in f ();;
  35
  36 2.      Throughout this problem, assume that we have
  37
  38                 let rec blackhole x = blackhole x;;
  39
  40         All of the following are well-typed.
  41         Which ones terminate?  What are the generalizations?
  42
  43                 blackhole;;
  44
  45                 blackhole ();;
  46
  47                 fun () -> blackhole ();;
  48
  49                 (fun () -> blackhole ()) ();;
  50
  51                 if true then blackhole else blackhole;;
  52
  53                 if false then blackhole else blackhole;;
  54
  55                 if true then blackhole else blackhole ();;
  56
  57                 if false then blackhole else blackhole ();;
  58
  59                 if true then blackhole () else blackhole;;
  60
  61                 if false then blackhole () else blackhole;;
  62
  63                 if true then blackhole () else blackhole ();;
  64
  65                 if false then blackhole () else blackhole ();;
  66
  67                 let _ = blackhole in 2;;
  68
  69                 let _ = blackhole () in 2;;
  70
  71 3.      This problem is to begin thinking about controlling order of evaluation.
  72 The following expression is an attempt to make explicit the
  73 behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
  74 The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
  75 other expression types.  So assume that "yes" is any OCaml expression,
  76 and "no" is any other OCaml expression (of the same type as "yes"!),
  77 and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
  78 "if bool then yes else no" should be equivalent to
  79
  80                 let b = bool in
  81                 let y = yes in
  82                 let n = no in
  83                 match b with true -> y | false -> n
  84
  85         This almost works.  For instance,
  86
  87                 if true then 1 else 2;;
  88
  89         evaluates to 1, and
  90
  91                 let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
  92                 match b with true -> y | false -> n;;
  93
  94         also evaluates to 1.  Likewise,
  95
  96                 if false then 1 else 2;;
  97
  98         and
  99
 100                 let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
 101                 match b with true -> y | false -> n;;
 102
 103         both evaluate to 2.
 104
 105         However,
 106
 107                 let rec blackhole x = blackhole x in
 108                 if true then blackhole else blackhole ();;
 109
 110         terminates, but
 111
 112                 let rec blackhole x = blackhole x in
 113                 let b = true in
 114                 let y = blackhole in
 115                 let n = blackhole () in
 116                 match b with true -> y | false -> n;;
 117
 118         does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
 119         false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
 120         without using the magical evaluation order properties of either `if`
 121         or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
 122         you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
 123
 124         [[Hint assignment 5 problem 3]]
 125
 126 Booleans, Church numbers, and Church lists in OCaml
 127 ---------------------------------------------------
 128
 129 (These questions adapted from web materials by Umut Acar. See <http://www.mpi-sws.org/~umut/>.)
 130
 131 The idea is to get booleans, Church numbers, v3 lists, and
 132 binary trees working in OCaml.
 133
 134 Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
 135
 136         τ ::= α | τ1 → τ2 | ∀α. τ
 137         e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λα. e | e [τ ]
 138
 139 Recall that bool may be encoded as follows:
 140
 141         bool := ∀α. α → α → α
 142         true := Λα. λt:α. λf :α. t
 143         false := Λα. λt:α. λf :α. f
 144
 145 (where τ indicates the type of e1 and e2)
 146
 147 Note that each of the following terms, when applied to the
 148 appropriate arguments, return a result of type bool.
 149
 150 (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
 151 (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
 152 (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
 153
 154 The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:
 155
 156         nat := ∀α. α → (α → α) → α
 157         zero := Λα. λz:α. λs:α → α. z
 158         succ := λn:nat. Λα. λz:α. λs:α → α. s (n [α] z s)
 159
 160 A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n times. In the polymorphic
 161 encoding above, the result of that iteration can be any type α, as long as you have a base element z : α and
 162 a function s : α → α.
 163
 164 **Excercise**: get booleans and Church numbers working in OCaml,
 165 including OCaml versions of bool, true, false, zero, succ, add.
 166
 167 Consider the following list type:
 168
 169         type ’a list = Nil | Cons of ’a * ’a list
 170
 171 We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:
 172
 173         τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
 174         nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
 175         makeListτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)
 176
 177 As with nats, recursion is built into the datatype.
 178
 179 We can write functions like map:
 180
 181         map : (σ → τ ) → σ list → τ list
 182                 = λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y
 183
 184 **Excercise** convert this function to OCaml.  Also write an `append` function.
 185 Test with simple lists.
 186
 187 Consider the following simple binary tree type:
 188
 189         type ’a tree = Leaf | Node of ’a tree * ’a * ’a tree
 190
 191 **Excercise**
 192 Write a function `sumLeaves` that computes the sum of all the
 193 leaves in an int tree.
 194
 195 Write a function `inOrder` : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
 196 may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.
 197
 198 Baby monads
 199 -----------
 200
 201 Read the lecture notes for week 6, then write a
 202 function `lift'` that generalized the correspondence between + and
 203 `add'`: that is, `lift'` takes any two-place operation on integers
 204 and returns a version that takes arguments of type `int option`
 205 instead, returning a result of `int option`.  In other words,
 206 `lift'` will have type
 207
 208         (int -> int -> int) -> (int option) -> (int option) -> (int option)
 209
 210 so that `lift' (+) (Some 3) (Some 4)` will evalute to `Some 7`.
 211 Don't worry about why you need to put `+` inside of parentheses.
 212 You should make use of `bind'` in your definition of `lift'`:
 213
 214         let bind' (x: int option) (f: int -> (int option)) =
 215                 match x with None -> None | Some n -> f n;;
 216
 217