85ac9a180a6d29cba48e9200aa68d507cd476df5
1 Assignment 5
3 Types and OCaml
4 ---------------
6 0.      Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
7         Give two different typings for this function in OCaml.
8         To get you started, here's one typing for K:
10                 # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
11                 val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
12                 # k 1 true;;
13                 - : int = 1
16 1.      Which of the following expressions is well-typed in OCaml?
17         For those that are, give the type of the expression as a whole.
18         For those that are not, why not?
20                 let rec f x = f x;;
22                 let rec f x = f f;;
24                 let rec f x = f x in f f;;
26                 let rec f x = f x in f ();;
28                 let rec f () = f f;;
30                 let rec f () = f ();;
32                 let rec f () = f () in f f;;
34                 let rec f () = f () in f ();;
36 2.      Throughout this problem, assume that we have
38                 let rec blackhole x = blackhole x;;
40         All of the following are well-typed.
41         Which ones terminate?  What are the generalizations?
43                 blackhole;;
45                 blackhole ();;
47                 fun () -> blackhole ();;
49                 (fun () -> blackhole ()) ();;
51                 if true then blackhole else blackhole;;
53                 if false then blackhole else blackhole;;
55                 if true then blackhole else blackhole ();;
57                 if false then blackhole else blackhole ();;
59                 if true then blackhole () else blackhole;;
61                 if false then blackhole () else blackhole;;
63                 if true then blackhole () else blackhole ();;
65                 if false then blackhole () else blackhole ();;
67                 let _ = blackhole in 2;;
69                 let _ = blackhole () in 2;;
71 3.      This problem is to begin thinking about controlling order of evaluation.
72 The following expression is an attempt to make explicit the
73 behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
74 The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
75 other expression types.  So assume that "yes" is any OCaml expression,
76 and "no" is any other OCaml expression (of the same type as "yes"!),
77 and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
78 "if bool then yes else no" should be equivalent to
80                 let b = bool in
81                 let y = yes in
82                 let n = no in
83                 match b with true -> y | false -> n
85         This almost works.  For instance,
87                 if true then 1 else 2;;
89         evaluates to 1, and
91                 let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
92                 match b with true -> y | false -> n;;
94         also evaluates to 1.  Likewise,
96                 if false then 1 else 2;;
98         and
100                 let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
101                 match b with true -> y | false -> n;;
103         both evaluate to 2.
105         However,
107                 let rec blackhole x = blackhole x in
108                 if true then blackhole else blackhole ();;
110         terminates, but
112                 let rec blackhole x = blackhole x in
113                 let b = true in
114                 let y = blackhole in
115                 let n = blackhole () in
116                 match b with true -> y | false -> n;;
118         does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
119         false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
120         without using the magical evaluation order properties of either `if`
121         or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
122         you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
124         [[Hint assignment 5 problem 3]]
126 Booleans, Church numbers, and Church lists in OCaml
127 ---------------------------------------------------
129 (These questions adapted from web materials by Umut Acar. See <http://www.mpi-sws.org/~umut/>.)
131 The idea is to get booleans, Church numbers, v3 lists, and
132 binary trees working in OCaml.
134 Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
136         τ ::= α | τ1 → τ2 | ∀α. τ
137         e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λα. e | e [τ ]
139 Recall that bool may be encoded as follows:
141         bool := ∀α. α → α → α
142         true := Λα. λt:α. λf :α. t
143         false := Λα. λt:α. λf :α. f
145 (where τ indicates the type of e1 and e2)
147 Note that each of the following terms, when applied to the
148 appropriate arguments, return a result of type bool.
150 (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
151 (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
152 (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
154 The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:
156         nat := ∀α. α → (α → α) → α
157         zero := Λα. λz:α. λs:α → α. z
158         succ := λn:nat. Λα. λz:α. λs:α → α. s (n [α] z s)
160 A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n times. In the polymorphic
161 encoding above, the result of that iteration can be any type α, as long as you have a base element z : α and
162 a function s : α → α.
164 **Excercise**: get booleans and Church numbers working in OCaml,
165 including OCaml versions of bool, true, false, zero, succ, add.
167 Consider the following list type:
169         type ’a list = Nil | Cons of ’a * ’a list
171 We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:
173         τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
174         nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
175         makeListτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)
177 As with nats, recursion is built into the datatype.
179 We can write functions like map:
181         map : (σ → τ ) → σ list → τ list
182                 = λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y
184 **Excercise** convert this function to OCaml.  Also write an `append` function.
185 Test with simple lists.
187 Consider the following simple binary tree type:
189         type ’a tree = Leaf | Node of ’a tree * ’a * ’a tree
191 **Excercise**
192 Write a function `sumLeaves` that computes the sum of all the
193 leaves in an int tree.
195 Write a function `inOrder` : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
196 may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.