1 Assignment 5
3 Types and OCaml
4 ---------------
6 0.      Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
7         Give two different typings for this function in OCaml.
8         To get you started, here's one typing for K:
10                 # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
11                 val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
12                 # k 1 true;;
13                 - : int = 1
16 1.      Which of the following expressions is well-typed in OCaml? For those that are, give the type of the expression as a whole. For those that are not, why not?
18                 let rec f x = f x;;
20                 let rec f x = f f;;
22                 let rec f x = f x in f f;;
24                 let rec f x = f x in f ();;
26                 let rec f () = f f;;
28                 let rec f () = f ();;
30                 let rec f () = f () in f f;;
32                 let rec f () = f () in f ();;
34 2.      Throughout this problem, assume that we have
36                 let rec blackhole x = blackhole x;;
38         All of the following are well-typed.
39         Which ones terminate?  What are the generalizations?
41                 blackhole;;
43                 blackhole ();;
45                 fun () -> blackhole ();;
47                 (fun () -> blackhole ()) ();;
49                 if true then blackhole else blackhole;;
51                 if false then blackhole else blackhole;;
53                 if true then blackhole else blackhole ();;
55                 if false then blackhole else blackhole ();;
57                 if true then blackhole () else blackhole;;
59                 if false then blackhole () else blackhole;;
61                 if true then blackhole () else blackhole ();;
63                 if false then blackhole () else blackhole ();;
65                 let _ = blackhole in 2;;
67                 let _ = blackhole () in 2;;
69 3.      This problem is to begin thinking about controlling order of evaluation.
70 The following expression is an attempt to make explicit the
71 behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
72 The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
73 other expression types.  So assume that "yes" is any OCaml expression,
74 and "no" is any other OCaml expression (of the same type as "yes"!),
75 and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
76 "if bool then yes else no" should be equivalent to
78                 let b = bool in
79                 let y = yes in
80                 let n = no in
81                 match b with true -> y | false -> n
83         This almost works.  For instance,
85                 if true then 1 else 2;;
87         evaluates to 1, and
89                 let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
90                 match b with true -> y | false -> n;;
92         also evaluates to 1.  Likewise,
94                 if false then 1 else 2;;
96         and
98                 let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
99                 match b with true -> y | false -> n;;
101         both evaluate to 2.
103         However,
105                 let rec blackhole x = blackhole x in
106                 if true then blackhole else blackhole ();;
108         terminates, but
110                 let rec blackhole x = blackhole x in
111                 let b = true in
112                 let y = blackhole in
113                 let n = blackhole () in
114                 match b with true -> y | false -> n;;
116         does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
117         false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
118         without using the magical evaluation order properties of either `if`
119         or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
120         you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
122         [[Hint assignment 5 problem 3]]
124 Booleans, Church numerals, and v3 lists in OCaml
125 ------------------------------------------------
127 (These questions adapted from web materials by Umut Acar. See <http://www.mpi-sws.org/~umut/>.)
129 Let's think about the encodings of booleans, numerals and lists in System F, and get datastructures with the same explicit form working in OCaml. (The point... so we won't rely on OCaml's native booleans, integers, or lists.)
131 Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
133         types τ ::= c | 'a | τ1 → τ2 | ∀'a. τ
134         expressions e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λ'a. e | e [τ]
136 The boolean type, and its two values, may be encoded as follows:
138         bool := ∀'a. 'a → 'a → 'a
139         true := Λ'a. λt:'a. λf :'a. t
140         false := Λ'a. λt:'a. λf :'a. f
142 It's used like this:
144         b [τ] e1 e2
146 where b is a boolean value, and τ is the shared type of e1 and e2.
148 **Exercise**. How should we implement the following terms. Note that the result of applying them to the appropriate arguments should also give us a term of type bool.
150 (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
151 (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
152 (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
155 The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:
157         nat := ∀'a. 'a → ('a → 'a) → 'a
158         zero := Λ'a. λz:'a. λs:'a → 'a. z
159         succ := λn:nat. Λ'a. λz:'a. λs:'a → 'a. s (n ['a] z s)
161 A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n
162 times. In the polymorphic encoding above, the result of that iteration can be
163 any type 'a, as long as you have a base element z : 'a and a function s : 'a → 'a.
165 **Excercise**: get booleans and Church numbers working in OCaml,
166 including OCaml versions of bool, true, false, zero, iszero, succ, and **pred**.
168 Consider the following list type:
170         type 'a list = Nil | Cons of 'a * 'a list
172 We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:
174         τ list := ∀'a. 'a → (τ → 'a → 'a) → 'a
175         nil τ := Λ'a. λn:'a. λc:τ → 'a → 'a. n
176         make_list τ := λh:τ. λt:τ list. Λ'a. λn:'a. λc:τ → 'a → 'a. c h (t ['a] n c)
178 As with nats, recursion is built into the datatype.
180 We can write functions like map:
182         map : (σ → τ ) → σ list → τ list
183                 = λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y
185 **Excercise** convert this function to OCaml.  Also write an `append` function.
186 Also write a **head** function. Also write nil??? Test with simple lists.
189 Consider the following simple binary tree type:
191         type 'a tree = Leaf | Node of 'a tree * 'a * 'a tree
193 **Excercise**
194 Write a function `sum_leaves` that computes the sum of all the
195 leaves in an int tree.
197 Write a function `in_order` : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
198 may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.