assignment5.mdwn

   1 Assignment 5
   2
   3 Types and OCaml
   4 ---------------
   5
   6 0.      Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
   7         Give two different typings for this function in OCaml.
   8         To get you started, here's one typing for K:
   9
  10                 # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
  11                 val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
  12                 # k 1 true;;
  13                 - : int = 1
  14
  15
  16 1.      Which of the following expressions is well-typed in OCaml?
  17         For those that are, give the type of the expression as a whole.
  18         For those that are not, why not?
  19
  20                 let rec f x = f x;;
  21
  22                 let rec f x = f f;;
  23
  24                 let rec f x = f x in f f;;
  25
  26                 let rec f x = f x in f ();;
  27
  28                 let rec f () = f f;;
  29
  30                 let rec f () = f ();;
  31
  32                 let rec f () = f () in f f;;
  33
  34                 let rec f () = f () in f ();;
  35
  36 2.      Throughout this problem, assume that we have
  37
  38                 let rec blackhole x = blackhole x;;
  39
  40         All of the following are well-typed.
  41         Which ones terminate?  What are the generalizations?
  42
  43                 blackhole;;
  44
  45                 blackhole ();;
  46
  47                 fun () -> blackhole ();;
  48
  49                 (fun () -> blackhole ()) ();;
  50
  51                 if true then blackhole else blackhole;;
  52
  53                 if false then blackhole else blackhole;;
  54
  55                 if true then blackhole else blackhole ();;
  56
  57                 if false then blackhole else blackhole ();;
  58
  59                 if true then blackhole () else blackhole;;
  60
  61                 if false then blackhole () else blackhole;;
  62
  63                 if true then blackhole () else blackhole ();;
  64
  65                 if false then blackhole () else blackhole ();;
  66
  67                 let _ = blackhole in 2;;
  68
  69                 let _ = blackhole () in 2;;
  70
  71 3.      This problem is to begin thinking about controlling order of evaluation.
  72 The following expression is an attempt to make explicit the
  73 behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
  74 The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
  75 other expression types.  So assume that "yes" is any OCaml expression,
  76 and "no" is any other OCaml expression (of the same type as "yes"!),
  77 and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
  78 "if bool then yes else no" should be equivalent to
  79
  80                 let b = bool in
  81                 let y = yes in
  82                 let n = no in
  83                 match b with true -> y | false -> n
  84
  85         This almost works.  For instance,
  86
  87                 if true then 1 else 2;;
  88
  89         evaluates to 1, and
  90
  91                 let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
  92                 match b with true -> y | false -> n;;
  93
  94         also evaluates to 1.  Likewise,
  95
  96                 if false then 1 else 2;;
  97
  98         and
  99
 100                 let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
 101                 match b with true -> y | false -> n;;
 102
 103         both evaluate to 2.
 104
 105         However,
 106
 107                 let rec blackhole x = blackhole x in
 108                 if true then blackhole else blackhole ();;
 109
 110         terminates, but
 111
 112                 let rec blackhole x = blackhole x in
 113                 let b = true in
 114                 let y = blackhole in
 115                 let n = blackhole () in
 116                 match b with true -> y | false -> n;;
 117
 118         does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
 119         false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
 120         without using the magical evaluation order properties of either `if`
 121         or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
 122         you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
 123
 124         [[Hint assignment 5 problem 3]]
 125
 126 Baby monads
 127 -----------
 128
 129 Read the lecture notes for week 6, then write a
 130 function `lift` that generalized the correspondence between + and
 131 `add`: that is, `lift` takes any two-place operation on integers
 132 and returns a version that takes arguments of type `int option`
 133 instead, returning a result of `int option`.  In other words,
 134 `lift` will have type
 135
 136         (int -> int -> int) -> (int option) -> (int option) -> (int option)
 137
 138 so that `lift (+) (Some 3) (Some 4)` will evalute to `Some 7`.
 139 Don't worry about why you need to put `+` inside of parentheses.
 140 You should make use of `bind` in your definition of `lift`:
 141
 142         let bind (x: int option) (f: int -> (int option)) =
 143                 match x with None -> None | Some n -> f n;;
 144
 145
 146 Booleans, Church numbers, and Church lists in OCaml
 147 ---------------------------------------------------
 148
 149 (These questions adapted from web materials by Umut Acar. See <http://www.mpi-sws.org/~umut/>.)
 150
 151 The idea is to get booleans, Church numbers, "Church" lists, and
 152 binary trees working in OCaml.
 153
 154 Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
 155
 156         τ ::= α | τ1 → τ2 | ∀α. τ
 157         e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λα. e | e [τ ]
 158
 159 Recall that bool may be encoded as follows:
 160
 161         bool := ∀α. α → α → α
 162         true := Λα. λt:α. λf :α. t
 163         false := Λα. λt:α. λf :α. f
 164
 165 (where τ indicates the type of e1 and e2)
 166
 167 Note that each of the following terms, when applied to the
 168 appropriate arguments, return a result of type bool.
 169
 170 (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
 171 (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
 172 (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
 173
 174 The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:
 175
 176         nat := ∀α. α → (α → α) → α
 177         zero := Λα. λz:α. λs:α → α. z
 178         succ := λn:nat. Λα. λz:α. λs:α → α. s (n [α] z s)
 179
 180 A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n times. In the polymorphic
 181 encoding above, the result of that iteration can be any type α, as long as you have a base element z : α and
 182 a function s : α → α.
 183
 184 **Excercise**: get booleans and Church numbers working in OCaml,
 185 including OCaml versions of bool, true, false, zero, succ, add.
 186
 187 Consider the following list type:
 188
 189         type ’a list = Nil | Cons of ’a * ’a list
 190
 191 We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:
 192
 193         τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
 194         nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
 195         makeListτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)
 196
 197 As with nats, recursion is built into the datatype.
 198
 199 We can write functions like map:
 200
 201         map : (σ → τ ) → σ list → τ list
 202                 = λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y
 203
 204 **Excercise** convert this function to OCaml.  Also write an `append` function.
 205 Test with simple lists.
 206
 207 Consider the following simple binary tree type:
 208
 209         type ’a tree = Leaf | Node of ’a tree * ’a * ’a tree
 210
 211 **Excercise**
 212 Write a function `sumLeaves` that computes the sum of all the
 213 leaves in an int tree.
 214
 215 Write a function `inOrder` : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
 216 may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.
 217