assignment4.mdwn

   1 #Reversing a list#
   2
   3 <OL>
   4 <LI>How would you define an operation to reverse a list? (Don't peek at the
   5 [[lambda_library]]! Try to figure it out on your own.) Choose whichever
   6 implementation of list you like. Even then, there are various strategies you
   7 can use.
   8
   9 (See [[hints/Assignment 4 hint 1]] if you need some hints.)
  10 </OL>
  11
  12
  13 #Comparing lists for equality#
  14
  15
  16 <OL start=2>
  17 <LI>Suppose you have two lists of integers, `left` and `right`. You want to
  18 determine whether those lists are equal: that is, whether they have all the
  19 same members in the same order. (Equality for the lists we're working with is
  20 *extensional*, or parasitic on the equality of their members, and the list
  21 structure. Later in the course we'll see lists which aren't extensional in this
  22 way.)
  23
  24 How would you implement such a list comparison?
  25
  26 (See [[hints/Assignment 4 hint 2]] if you need some hints.)
  27 </OL>
  28
  29
  30 #Enumerating the fringe of a leaf-labeled tree#
  31
  32 First, read this: [[Implementing trees]]
  33
  34 <OL start=3>
  35 <LI>Write an implementation of leaf-labeled trees. You can do something v3-like, or use the Y combinator, as you prefer.
  36
  37 You'll need an operation `make_leaf` that turns a label into a new leaf. You'll
  38 need an operation `make_node` that takes two subtrees (perhaps leaves, perhaps
  39 other nodes) and joins them into a new tree. You'll need an operation `isleaf`
  40 that tells you whether a given tree is a leaf. And an operation `extract_label`
  41 that tells you what value is associated with a given leaf. And an operation
  42 `extract_left` that tells you what the left subtree is of a tree that isn't a
  43 leaf. (Presumably, `extract_right` will work similarly.)
  44
  45 <LI>The **fringe** of a leaf-labeled tree is the list of values at its leaves,
  46 ordered from left to right. For example, the fringe of this tree:
  47
  48                 .
  49            / \
  50           .   3
  51          / \
  52         1   2
  53
  54 is `[1;2;3]`. And that is also the fringe of this tree:
  55
  56                 .
  57            / \
  58           1   .
  59              / \
  60         2   3
  61
  62 The two trees are different, but they have the same fringe. We're going to
  63 return later in the term to the problem of determining when two trees have the
  64 same fringe. For now, one straightforward way to determine this would be:
  65 enumerate the fringe of the first tree. That gives you a list. Enumerate the
  66 fringe of the second tree. That also gives you a list. Then compare the two
  67 lists to see if they're equal.
  68
  69 Write the fringe-enumeration function. It should work on the
  70 implementation of trees you designed in the previous step.
  71
  72 Then combine this with the list comparison function you wrote for question 2,
  73 to yield a same-fringe detector. (To use your list comparison function, you'll
  74 have to make sure you only use Church numerals as the labels of your leaves,
  75 though nothing enforces this self-discipline.)
  76 </OL>
  77
  78
  79
  80 #Mutually-recursive functions#
  81
  82 <OL start=5>
  83 <LI>(Challenging.) One way to define the function `even` is to have it hand off
  84 part of the work to another function `odd`:
  85
  86         let even = \x. iszero x
  87                                         ; if x == 0 then result is
  88                                         true
  89                                         ; else result turns on whether x's pred is odd
  90                                         (odd (pred x))
  91
  92 At the same tme, though, it's natural to define `odd` in such a way that it
  93 hands off part of the work to `even`:
  94
  95         let odd = \x. iszero x
  96                                         ; if x == 0 then result is
  97                                         false
  98                                         ; else result turns on whether x's pred is even
  99                                         (even (pred x))
 100
 101 Such a definition of `even` and `odd` is called **mutually recursive**. If you
 102 trace through the evaluation of some sample numerical arguments, you can see
 103 that eventually we'll always reach a base step. So the recursion should be
 104 perfectly well-grounded:
 105
 106         even 3
 107         ~~> iszero 3 true (odd (pred 3))
 108         ~~> odd 2
 109         ~~> iszero 2 false (even (pred 2))
 110         ~~> even 1
 111         ~~> iszero 1 true (odd (pred 1))
 112         ~~> odd 0
 113         ~~> iszero 0 false (even (pred 0))
 114         ~~> false
 115
 116 But we don't yet know how to implement this kind of recursion in the lambda
 117 calculus.
 118
 119 The fixed point operators we've been working with so far worked like this:
 120
 121         let X = Y T in
 122         X <~~> T X
 123
 124 Suppose we had a pair of fixed point operators, `Y1` and `Y2`, that operated on
 125 a *pair* of functions `T1` and `T2`, as follows:
 126
 127         let X1 = Y1 T1 T2 in
 128         let X2 = Y2 T1 T2 in
 129         X1 <~~> T1 X1 X2 and
 130         X2 <~~> T2 X1 X2
 131
 132 If we gave you such a `Y1` and `Y2`, how would you implement the above
 133 definitions of `even` and `odd`?
 134
 135
 136 <LI>(More challenging.) Using our derivation of Y from the [Week3
 137 notes](/week3/#index4h2) as a model, construct a pair `Y1` and `Y2` that behave
 138 in the way described.
 139
 140 (See [[hints/Assignment 4 hint 3]] if you need some hints.)
 141
 142 </OL>
 143