assignment3.mdwn

   1 Assignment 3
   2 ------------
   3
   4 Once again, the lambda evaluator will make working through this
   5 assignment much faster and more secure.
   6
   7 #Writing recursive functions on version 1 style lists#
   8
   9 Recall that version 1 style lists are constructed like this (see
  10 [[lists and numbers]]):
  11
  12         ; booleans
  13         let true = \x y. x in
  14         let false = \x y. y in
  15         let and = \l r. l (r true false) false in
  16
  17         ; version 1 lists
  18         let make_pair = \f s g. g f s in
  19         let fst = true in
  20         let snd = false in
  21         let empty = make_pair true junk in
  22         let isempty = \x. x fst in
  23         let make_list = \h t. make_pair false (make_pair h t) in
  24         let head = \l. isempty l err (l snd fst) in
  25         let tail = \l. isempty l err (l snd snd) in
  26
  27         ; a list of numbers to experiment on
  28         let mylist = make_list 1 (make_list 2 (make_list 3 empty)) in
  29
  30         ; a fixed-point combinator for defining recursive functions
  31         let Y = \f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h)) in
  32
  33         ; church numerals
  34         let iszero = \n. n (\x. false) true in
  35         let succ = \n s z. s (n s z) in
  36         let mult = \m n s. m (n s) in
  37         let length = Y (\length l. isempty l 0 (succ (length (tail l)))) in
  38         let pred = \n. iszero n 0 (length (tail (n (\p. make_list junk p) empty)))
  39         in
  40         let leq = \m n. iszero(n pred m) in
  41         let eq = \m n. and (leq m n)(leq n m) in
  42
  43         eq 2 2 yes no
  44
  45
  46 Then `length mylist` evaluates to 3.
  47
  48 1. What does `head (tail (tail mylist))` evaluate to?
  49
  50 2. Using the `length` function as a model, and using the predecessor
  51 function, write a function that computes factorials.  (Recall that n!,
  52 the factorial of n, is n times the factorial of n-1.)
  53
  54         Warning: it takes a long time for my browser to compute factorials larger than 4!
  55
  56 3. (Easy) Write a function `equal_length` that returns true just in case
  57 two lists have the same length.  That is,
  58
  59                 equal_length mylist (make_list junk (make_list junk (make_list junk empty))) ~~> true
  60
  61                 equal_length mylist (make_list junk (make_list junk empty))) ~~> false
  62
  63
  64 4. (Still easy) Now write the same function, but don't use the length
  65 function.
  66
  67 5. In assignment 2, we discovered that version 3-type lists (the ones
  68 that
  69 work like Church numerals) made it much easier to define operations
  70 like `map` and `filter`.  But now that we have recursion in our
  71 toolbox,
  72 reasonable map and filter functions for version 1 lists are within our
  73 reach.  Give definitions for `map` and a `filter` for verson 1 type
  74 lists.
  75
  76 #Computing with trees#
  77
  78 Linguists analyze natural language expressions into trees.
  79
  80 We'll need trees in future weeks, and tree structures provide good
  81 opportunities for learning how to write recursive functions.
  82 Making use of the resources we have at the moment, we can approximate
  83 trees as follows: instead of words, we'll use Church numerals.
  84 Then a tree will be a (version 1 type) list in which each element is
  85 itself a tree.  For simplicity, we'll adopt the convention that
  86 a tree of length 1 must contain a number as its only element.
  87
  88 Then we have the following representations:
  89
  90 <pre>
  91    (a)           (b)             (c)
  92     .
  93    /|\            /\              /\
  94   / | \          /\ 3            1 /\
  95   1 2  3        1  2               2 3
  96
  97 [[1];[2];[3]]  [[[1];[2]];[3]]   [[1];[[2];[3]]]
  98 </pre>
  99
 100 Limitations of this scheme include the following: there is no easy way
 101 to label a constituent with a syntactic category (S or NP or VP,
 102 etc.), and there is no way to represent a tree in which a mother has a
 103 single daughter.
 104
 105 When processing a tree, you can test for whether the tree contains
 106 only a numeral (in which case the tree is leaf node) by testing for
 107 whether the length of the list is less than or equal to 1.  This will
 108 be your base case for your recursive functions that operate on these
 109 trees.
 110
 111 <OL start=6>
 112 <LI>Write a function that sums the number of leaves in a tree.
 113
 114 Expected behavior:
 115
 116         let t1 = (make_list 1 empty) in
 117         let t2 = (make_list 2 empty) in
 118         let t3 = (make_list 3 empty) in
 119         let t12 = (make_list t1 (make_list t2 empty)) in
 120         let t23 = (make_list t2 (make_list t3 empty)) in
 121         let ta = (make_list t1 t23) in
 122         let tb = (make_list t12 t3) in
 123         let tc = (make_list t1 (make_list t23 empty)) in
 124
 125         sum-leaves t1 ~~> 1
 126         sum-leaves t2 ~~> 2
 127         sum-leaves t3 ~~> 3
 128         sum-leaves t12 ~~> 3
 129         sum-leaves t23 ~~> 5
 130         sum-leaves ta ~~> 6
 131         sum-leaves tb ~~> 6
 132         sum-leaves tc ~~> 6
 133
 134
 135 <LI>Write a function that counts the number of leaves.
 136
 137 </OL>
 138