assignment3.mdwn

   1 Assignment 3
   2 ------------
   3
   4 Erratum corrected 11PM Sun 3 Oct: the following line
   5
   6         let tb = (make_list t12 (make_list t3 empty)) in
   7
   8 originally read
   9
  10         let tb = (make_list t12 t3) in
  11
  12 This has been corrected below, and in the preloaded evaluator for
  13 working on assignment 3, available here: [[assignment 3 evaluator]].
  14
  15 <hr>
  16
  17 Once again, the lambda evaluator will make working through this
  18 assignment much faster and more secure.
  19
  20 #Writing recursive functions on version 1 style lists#
  21
  22 Recall that version 1 style lists are constructed like this (see
  23 [[lists and numbers]]):
  24
  25         ; booleans
  26         let true = \x y. x in
  27         let false = \x y. y in
  28         let and = \l r. l (r true false) false in
  29
  30         let make_pair = \f s g. g f s in
  31         let get_fst = true in
  32         let get_snd = false in
  33         let empty = make_pair true junk in
  34         let isempty = \x. x get_fst in
  35         let make_list = \h t. make_pair false (make_pair h t) in
  36         let head = \l. isempty l err (l get_snd get_fst) in
  37         let tail = \l. isempty l err (l get_snd get_snd) in
  38
  39         ; a list of numbers to experiment on
  40         let mylist = make_list 1 (make_list 2 (make_list 3 empty)) in
  41
  42         ; church numerals
  43         let iszero = \n. n (\x. false) true in
  44         let succ = \n s z. s (n s z) in
  45         let mul = \m n s. m (n s) in
  46         let pred = (\shift n. n shift (make\_pair 0 0) get\_snd) (\p. p (\x y. make\_pair (succ x) x)) in
  47         let leq = \m n. iszero(n pred m) in
  48         let eq = \m n. and (leq m n)(leq n m) in
  49
  50         ; a fixed-point combinator for defining recursive functions
  51         let Y = \f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h)) in
  52         let length = Y (\length l. isempty l 0 (succ (length (tail l)))) in
  53
  54         eq 2 2 yes no
  55
  56
  57 Then `length mylist` evaluates to 3.
  58
  59 1. What does `head (tail (tail mylist))` evaluate to?
  60
  61 2. Using the `length` function as a model, and using the predecessor
  62 function, write a function that computes factorials.  (Recall that n!,
  63 the factorial of n, is n times the factorial of n-1.)
  64
  65         Warning: it takes a long time for my browser to compute factorials larger than 4!
  66
  67 3. (Easy) Write a function `equal_length` that returns true just in case
  68 two lists have the same length.  That is,
  69
  70                 equal_length mylist (make_list junk (make_list junk (make_list junk empty))) ~~> true
  71
  72                 equal_length mylist (make_list junk (make_list junk empty))) ~~> false
  73
  74
  75 4. (Still easy) Now write the same function, but don't use the length
  76 function.
  77
  78 5. In assignment 2, we discovered that version 3-type lists (the ones
  79 that
  80 work like Church numerals) made it much easier to define operations
  81 like `map` and `filter`.  But now that we have recursion in our
  82 toolbox,
  83 reasonable map and filter functions for version 1 lists are within our
  84 reach.  Give definitions for `map` and a `filter` for verson 1 type
  85 lists.
  86
  87 #Computing with trees#
  88
  89 Linguists analyze natural language expressions into trees.
  90
  91 We'll need trees in future weeks, and tree structures provide good
  92 opportunities for learning how to write recursive functions.
  93 Making use of the resources we have at the moment, we can approximate
  94 trees as follows: instead of words, we'll use Church numerals.
  95 Then a tree will be a (version 1 type) list in which each element is
  96 itself a tree.  For simplicity, we'll adopt the convention that
  97 a tree of length 1 must contain a number as its only element.
  98
  99 Then we have the following representations:
 100
 101 <pre>
 102    (a)           (b)             (c)
 103     .
 104    /|\            /\              /\
 105   / | \          /\ 3            1 /\
 106   1 2  3        1  2               2 3
 107
 108 [[1];[2];[3]]  [[[1];[2]];[3]]   [[1];[[2];[3]]]
 109 </pre>
 110
 111 Limitations of this scheme include the following: there is no easy way
 112 to label a constituent with a syntactic category (S or NP or VP,
 113 etc.), and there is no way to represent a tree in which a mother has a
 114 single daughter.
 115
 116 When processing a tree, you can test for whether the tree contains
 117 only a numeral (in which case the tree is leaf node) by testing for
 118 whether the length of the list is less than or equal to 1.  This will
 119 be your base case for your recursive functions that operate on these
 120 trees.
 121
 122 <OL start=6>
 123 <LI>Write a function that sums the values at the leaves in a tree.
 124
 125 Expected behavior:
 126
 127         let t1 = (make_list 1 empty) in
 128         let t2 = (make_list 2 empty) in
 129         let t3 = (make_list 3 empty) in
 130         let t12 = (make_list t1 (make_list t2 empty)) in
 131         let t23 = (make_list t2 (make_list t3 empty)) in
 132         let ta = (make_list t1 t23) in
 133         let tb = (make_list t12 (make_list t3 empty)) in
 134         let tc = (make_list t1 (make_list t23 empty)) in
 135
 136         sum-leaves t1 ~~> 1
 137         sum-leaves t2 ~~> 2
 138         sum-leaves t3 ~~> 3
 139         sum-leaves t12 ~~> 3
 140         sum-leaves t23 ~~> 5
 141         sum-leaves ta ~~> 6
 142         sum-leaves tb ~~> 6
 143         sum-leaves tc ~~> 6
 144
 145
 146 <LI>Write a function that counts the number of leaves.
 147
 148 </OL>
 149