assignment3.mdwn

   1 Assignment 3
   2 ------------
   3
   4 Once again, the lambda evaluator will make working through this
   5 assignment much faster and more secure.
   6
   7 *Writing recursive functions on version 1 style lists*
   8
   9 Recall that version 1 style lists are constructed like this:
  10
  11 <pre>
  12 ; booleans
  13 let true = \x y. x in
  14 let false = \x y. y in
  15 let and = \l r. l (r true false) false in
  16
  17 ; version 1 lists
  18 let makePair = \f s g. g f s in
  19 let fst = true in
  20 let snd = false in
  21 let nil = makePair true meh in
  22 let isNil = \x. x fst in
  23 let makeList = \h t. makePair false (makePair h t) in
  24 let head = \l. isNil l err (l snd fst) in
  25 let tail = \l. isNil l err (l snd snd) in
  26
  27 ; a list of numbers to experiment on
  28 let mylist = makeList 1 (makeList 2 (makeList 3 nil)) in
  29
  30 ; a fixed-point combinator for defining recursive functions
  31 let Y = \f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h)) in
  32
  33 ; church numerals
  34 let isZero = \n. n (\x. false) true in
  35 let succ = \n s z. s (n s z) in
  36 let mult = \m n s. m (n s) in
  37 let length = Y (\length l. isNil l 0 (succ (length (tail l)))) in
  38 let predecessor = \n. length (tail (n (\p. makeList meh p) nil)) in
  39 let leq = ; (leq m n) will be true iff m is less than or equal to n
  40   Y (\leq m n. isZero m true (isZero n false (leq (predecessor m)(predecessor n)))) in
  41 let eq = \m n. and (leq m n)(leq n m) in
  42
  43 eq 3 3
  44 </pre>
  45
  46
  47 Then `length mylist` evaluates to 3.
  48
  49 1. What does `head (tail (tail mylist))` evaluate to?
  50
  51 2. Using the `length` function as a model, and using the predecessor
  52 function, write a function that computes factorials.  (Recall that n!,
  53 the factorial of n, is n times the factorial of n-1.)
  54
  55 Warning: my browser isn't able to compute factorials of numbers
  56 greater than 2 (it does't provide enough resources for the JavaScript
  57 interpreter; web pages are not supposed to be that computationally
  58 intensive).
  59
  60
  61 3. Write a function `listLenEq` that returns true just in case two lists have the
  62 same length.  That is,
  63
  64      listLenEq mylist (makeList meh (makeList meh (makeList meh nil))) ~~> true
  65
  66      listLenEq mylist (makeList meh (makeList meh nil))) ~~> false
  67
  68
  69 4. Now write the same function, but don't use the length function (hint: use `leq` as a model).
  70
  71
  72 [The following should be correct, but won't run in my browser:
  73
  74 let factorial = Y (\fac n. isZero n 1 (mult n (fac (predecessor n)))) in
  75
  76 <pre>
  77 let reverse =
  78   Y (\rev l. isNil l nil
  79                    (isNil (tail l) l
  80                           (makeList (head (rev (tail l)))
  81                                     (rev (makeList (head l)
  82                                                    (rev (tail (rev (tail l))))))))) in
  83
  84 reverse (makeList 1 (makeList 2 (makeList 3 nil)))
  85 </pre>
  86
  87 It may require more resources than my browser is willing to devote to
  88 JavaScript.]
  89