assignment1.mdwn

   1 Reduction
   2 ---------
   3
   4 Find "normal forms" for the following---that is, reduce them until no more reductions are possible. We'll write <code>&lambda;x</code> as `\x`.
   5
   6 1. `(\x \y. y x) z`
   7 2. `(\x (x x)) z`
   8 3. `(\x (\x x)) z`
   9 4. `(\x (\z x)) z`
  10 5. `(\x (x (\y y))) (\z (z z))`
  11 6. `(\x (x x)) (\x (x x))`
  12 7. `(\x (x x x)) (\x (x x x))`
  13
  14
  15 Booleans
  16 --------
  17
  18 Recall our definitions of true and false.
  19
  20 >   **true** is defined to be `\t \f. t`
  21 >   **false** is defined to be `\t \f. f`
  22
  23 In Racket, these can be defined like this:
  24
  25         (define true (lambda (t) (lambda (f) t)))
  26         (define false (lambda (t) (lambda (f) f)))
  27
  28 <OL start=8>
  29 <LI>Define a `neg` operator that negates `true` and `false`.
  30
  31 Expected behavior:
  32
  33     (((neg true) 10) 20)
  34
  35 evaluates to 20, and
  36
  37     (((neg false) 10) 20)
  38
  39 evaluates to 10.
  40
  41 <LI>Define an `and` operator.
  42
  43 <LI>Define an `xor` operator. If you haven't seen this term before, here's a truth table:
  44
  45     true xor true = false
  46     true xor false = true
  47     false xor true = true
  48     false xor false = false
  49
  50
  51 <LI>Inspired by our definition of boolean values, propose a data structure
  52 capable of representing one of the two values `black` or `white`.
  53 If we have
  54 one of those values, call it a "black-or-white value", we should be able to
  55 write:
  56
  57         the-value if-black if-white
  58
  59 (where `if-black` and `if-white` are anything), and get back one of `if-black` or
  60 `if-white`, depending on which of the black-or-white values we started with. Give
  61 a definition for each of `black` and `white`. (Do it in both lambda calculus
  62 and also in Racket.)
  63
  64 <LI>Now propose a data structure capable of representing one of the three values
  65 `red` `green` or `blue`, based on the same model. (Do it in both lambda
  66 calculus and also in Racket.)
  67 </OL>
  68
  69
  70
  71 Pairs
  72 -----
  73
  74 Recall our definitions of ordered pairs.
  75
  76 >   the pair **(**x**,**y**)** is defined to be `\f. f x y`
  77
  78 To extract the first element of a pair p, you write:
  79
  80         p (\fst \snd. fst)
  81
  82 Here are some definitions in Racket:
  83
  84         (define make-pair (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (f) ((f fst) snd)))))
  85         (define get-first (lambda (fst) (lambda (snd) fst)))
  86         (define get-second (lambda (fst) (lambda (snd) snd)))
  87
  88 Now we can write:
  89
  90         (define p ((make-pair 10) 20))
  91         (p get-first)   ; will evaluate to 10
  92         (p get-second)  ; will evaluate to 20
  93
  94 If you're puzzled by having the pair to the left and the function that
  95 operates on it come second, think about why it's being done this way: the pair
  96 is a package that takes a function for operating on its elements *as an
  97 argument*, and returns *the result of* operating on its elements with that
  98 function. In other words, the pair is a higher-order function. (Consider the similarities between this definition of a pair and a generalized quantifier.)
  99
 100 If you like, you can disguise what's going on like this:
 101
 102         (define lifted-get-first (lambda (p) (p get-first)))
 103         (define lifted-get-second (lambda (p) (p get-second)))
 104
 105 Now you can write:
 106
 107         (lifted-get-first p)
 108
 109 instead of:
 110
 111         (p get-first)
 112
 113 However, the latter is still what's going on under the hood. (Remark: `(lifted-f ((make-pair 10) 20))` stands to `(((make-pair 10) 20) f)` as `(((make-pair 10) 20) f)` stands to `((f 10) 20)`.)
 114
 115
 116 <OL start=13>
 117 <LI>Define a `swap` function that reverses the elements of a pair. Expected behavior:
 118
 119         (define p ((make-pair 10) 20))
 120         ((p swap) get-first) ; evaluates to 20
 121         ((p swap) get-second) ; evaluates to 10
 122
 123 Write out the definition of `swap` in Racket.
 124
 125
 126 <LI>Define a `dup` function that duplicates its argument to form a pair
 127 whose elements are the same.
 128 Expected behavior:
 129
 130         ((dup 10) get-first) ; evaluates to 10
 131         ((dup 10) get-second) ; evaluates to 10
 132
 133 <LI>Define a `sixteen` function that makes
 134 sixteen copies of its argument (and stores them in a data structure of
 135 your choice).
 136
 137 <LI>Inspired by our definition of ordered pairs, propose a data structure capable of representing ordered triples. That is,
 138
 139         (((make-triple M) N) P)
 140
 141 should return an object that behaves in a reasonable way to serve as a triple. In addition to defining the `make-triple` function, you have to show how to extract elements of your triple. Write a `get-first-of-triple` function, that does for triples what `get-first` does for pairs. Also write `get-second-of-triple` and `get-third-of-triple` functions.
 142
 143 <LI>Write a function `second-plus-third` that when given to your triple, returns the result of adding the second and third members of the triple.
 144
 145 You can help yourself to the following definition:
 146
 147         (define add (lambda (x) (lambda (y) (+ x y))))
 148
 149 <!-- Write a function that reverses the order of the elements in a list. [Only attempt this problem if you're feeling frisky, it's super hard unless you have lots of experience programming.]  -->
 150
 151 </OL>
 152