assignment1.mdwn

   1 **Reduction**
   2
   3 Find "normal forms" for the following (that is, reduce them as far as it's possible to reduce
   4 them):
   5
   6     1. (\x \y. y x) z
   7     2. (\x (x x)) z
   8     3. (\x (\x x)) z
   9     4. (\x (\z x)) z
  10     5. (\x (x (\y y))) (\z (z z))
  11     6. (\x (x x)) (\x (x x))
  12     7. (\x (x x x)) (\x (x x x))
  13
  14
  15 **Booleans**
  16
  17 Recall our definitions of true and false.
  18
  19         "true" defined to be `\t \f. t`
  20         "false" defined to be `\t \f. f`
  21
  22 In Racket, these can be defined like this:
  23
  24         (define true (lambda (t) (lambda (f) t)))
  25         (define false (lambda (t) (lambda (f) f)))
  26
  27 * 8. Define a "neg" operator that negates "true" and "false".
  28 Expected behavior:
  29
  30     (((neg true) 10) 20)
  31
  32 evaluates to 20, and
  33
  34     (((neg false) 10) 20)
  35
  36 evaluates to 10.
  37
  38 * 9. Define an "and" operator.
  39
  40 * 10. Define an "xor" operator. (If you haven't seen this term before, here's a truth table:
  41
  42         true xor true = false
  43         true xor false = true
  44         false xor true = true
  45         false xor false = false
  46
  47 )
  48
  49 * 11. Inspired by our definition of boolean values, propose a data structure
  50 capable of representing one of the two values "black" or "white". If we have
  51 one of those values, call it a black-or-white-value, we should be able to
  52 write:
  53
  54         the-black-or-white-value if-black if-white
  55
  56 (where if-black and if-white are anything), and get back one of if-black or
  57 if-white, depending on which of the black-or-white values we started with. Give
  58 a definition for each of "black" and "white". (Do it in both lambda calculus
  59 and also in Racket.)
  60
  61 12. Now propose a data structure capable of representing one of the three values
  62 "red" "green" or "blue," based on the same model. (Do it in both lambda
  63 calculus and also in Racket.)
  64
  65
  66
  67 Pairs
  68 -----
  69
  70 Recall our definitions of ordered pairs.
  71
  72         the pair (x,y) is defined as `\f. f x y`
  73
  74 To extract the first element of a pair p, you write:
  75
  76         p (\fst \snd. fst)
  77
  78 Here are some defintions in Racket:
  79
  80         (define make-pair (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (f) ((f fst) snd)))))
  81         (define get-first (lamda (fst) (lambda (snd) fst)))
  82         (define get-second (lamda (fst) (lambda (snd) snd)))
  83
  84 Now we can write:
  85
  86         (define p ((make-pair 10) 20))
  87         (p get-first)   ; will evaluate to 10
  88         (p get-second)  ; will evaluate to 20
  89
  90 If you're bothered by having the pair to the left and the function that operates on it come second, think about why it's being done this way: the pair is a package that takes a function for operating on its elements as an argument, and returns the result of operating on its elemens with that function. In other words, the pair is also a function.
  91
  92 If you like, you can disguise what's going on like this:
  93
  94         (define lifted-get-first (lambda (p) (p get-first)))
  95         (define lifted-get-second (lambda (p) (p get-second)))
  96
  97 Now you can write:
  98
  99         (lifted-get-first p)
 100
 101 instead of:
 102
 103         (p get-first)
 104
 105 However, the latter is still what's going on under the hood.
 106
 107
 108 13. Define a "swap" function that reverses the elements of a pair.
 109 Expected behavior:
 110
 111         (define p ((make-pair 10) 20))
 112         ((p swap) get-first) ; evaluates to 20
 113         ((p swap) get-second) ; evaluates to 10
 114
 115 Write out the definition of swap in Racket.
 116
 117
 118 14. Define a "dup" function that duplicates its argument to form a pair
 119 whose elements are the same.
 120 Expected behavior:
 121
 122         ((dup 10) get-first) ; evaluates to 10
 123         ((dup 10) get-second) ; evaluates to 10
 124
 125 15. Define a "sixteen" function that makes
 126 sixteen copies of its argument (and stores them in a data structure of
 127 your choice).
 128
 129 16. Inspired by our definition of ordered pairs, propose a data structure capable of representing ordered tripes. That is,
 130
 131         (((make-triple M) N) P)
 132
 133 should return an object that behaves in a reasonable way to serve as a triple. In addition to defining the make-triple function, you have to show how to extraxt elements of your triple. Write a get-first-of-triple function, that does for triples what get-first does for pairs. Also write get-second-of-triple and get-third-of-triple functions.
 134
 135 17. Write a function second-plus-third that when given to your triple, returns the result of adding the second and third members of the triple.
 136
 137 You can help yourself to the following definition:
 138
 139     (define add (lambda (x) (lambda (y) (+ x y))))
 140
 141 18. [Super hard, unless you have lots of experience programming] Write a function that reverses the order of the elements in a list.