assignment1.mdwn

   1 Reduction
   2 ---------
   3
   4 Find "normal forms" for the following (that is, reduce them as far as it's possible to reduce
   5 them):
   6
   7     1. (\x \y. y x) z
   8     2. (\x (x x)) z
   9     3. (\x (\x x)) z
  10     4. (\x (\z x)) z
  11     5. (\x (x (\y y))) (\z (z z))
  12     6. (\x (x x)) (\x (x x))
  13     7. (\x (x x x)) (\x (x x x))
  14
  15
  16 Booleans
  17 --------
  18
  19 Recall our definitions of true and false.
  20
  21         "true" defined to be `\t \f. t`
  22         "false" defined to be `\t \f. f`
  23
  24 In Racket, these can be defined like this:
  25
  26         (define true (lambda (t) (lambda (f) t)))
  27         (define false (lambda (t) (lambda (f) f)))
  28
  29 * Define a "neg" operator that negates "true" and "false".
  30 Expected behavior:
  31
  32     (((neg true) 10) 20)
  33
  34 evaluates to 20, and
  35
  36     (((neg false) 10) 20)
  37
  38 evaluates to 10.
  39
  40 * Define an "and" operator.
  41
  42 * Define an "xor" operator.
  43 (If you haven't seen this term before, here's a truth table:
  44
  45     true xor true = false
  46     true xor false = true
  47     false xor true = true
  48     false xor false = false
  49
  50 )
  51
  52 * Inspired by our definition of boolean values, propose a data structure
  53 capable of representing one of the two values "black" or "white".
  54 If we have
  55 one of those values, call it a black-or-white-value, we should be able to
  56 write:
  57
  58         the-black-or-white-value if-black if-white
  59
  60 (where if-black and if-white are anything), and get back one of if-black or
  61 if-white, depending on which of the black-or-white values we started with. Give
  62 a definition for each of "black" and "white". (Do it in both lambda calculus
  63 and also in Racket.)
  64
  65 * Now propose a data structure capable of representing one of the three values
  66 "red" "green" or "blue," based on the same model. (Do it in both lambda
  67 calculus and also in Racket.)
  68
  69
  70
  71 Pairs
  72 -----
  73
  74 Recall our definitions of ordered pairs.
  75
  76         the pair (x,y) is defined as `\f. f x y`
  77
  78 To extract the first element of a pair p, you write:
  79
  80         p (\fst \snd. fst)
  81
  82 Here are some defintions in Racket:
  83
  84         (define make-pair (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (f) ((f fst) snd)))))
  85         (define get-first (lamda (fst) (lambda (snd) fst)))
  86         (define get-second (lamda (fst) (lambda (snd) snd)))
  87
  88 Now we can write:
  89
  90         (define p ((make-pair 10) 20))
  91         (p get-first)   ; will evaluate to 10
  92         (p get-second)  ; will evaluate to 20
  93
  94 If you're bothered by having the pair to the left and the function that operates on it come second, think about why it's being done this way: the pair is a package that takes a function for operating on its elements as an argument, and returns the result of operating on its elemens with that function. In other words, the pair is also a function.
  95
  96 If you like, you can disguise what's going on like this:
  97
  98         (define lifted-get-first (lambda (p) (p get-first)))
  99         (define lifted-get-second (lambda (p) (p get-second)))
 100
 101 Now you can write:
 102
 103         (lifted-get-first p)
 104
 105 instead of:
 106
 107         (p get-first)
 108
 109 However, the latter is still what's going on under the hood.
 110
 111
 112 13. Define a "swap" function that reverses the elements of a pair.
 113 Expected behavior:
 114
 115         (define p ((make-pair 10) 20))
 116         ((p swap) get-first) ; evaluates to 20
 117         ((p swap) get-second) ; evaluates to 10
 118
 119 Write out the definition of swap in Racket.
 120
 121
 122 14. Define a "dup" function that duplicates its argument to form a pair
 123 whose elements are the same.
 124 Expected behavior:
 125
 126         ((dup 10) get-first) ; evaluates to 10
 127         ((dup 10) get-second) ; evaluates to 10
 128
 129 15. Define a "sixteen" function that makes
 130 sixteen copies of its argument (and stores them in a data structure of
 131 your choice).
 132
 133 16. Inspired by our definition of ordered pairs, propose a data structure capable of representing ordered tripes. That is,
 134
 135         (((make-triple M) N) P)
 136
 137 should return an object that behaves in a reasonable way to serve as a triple. In addition to defining the make-triple function, you have to show how to extraxt elements of your triple. Write a get-first-of-triple function, that does for triples what get-first does for pairs. Also write get-second-of-triple and get-third-of-triple functions.
 138
 139 17. Write a function second-plus-third that when given to your triple, returns the result of adding the second and third members of the triple.
 140
 141 You can help yourself to the following definition:
 142
 143     (define add (lambda (x) (lambda (y) (+ x y))))
 144
 145 18. [Super hard, unless you have lots of experience programming] Write a function that reverses the order of the elements in a list.