assignment1.mdwn

   1 Reduction
   2 ---------
   3
   4 Find "normal forms" for the following---that is, reduce them until no more reductions are possible. We'll write &lambda;`x` as `\x`.
   5
   6 1. `(\x \y. y x) z`
   7 2. `(\x (x x)) z`
   8 3. `(\x (\x x)) z`
   9 4. `(\x (\z x)) z`
  10 5. `(\x (x (\y y))) (\z (z z))`
  11 6. `(\x (x x)) (\x (x x))`
  12 7. `(\x (x x x)) (\x (x x x))`
  13
  14
  15 Booleans
  16 --------
  17
  18 Recall our definitions of true and false.
  19
  20 >   "true" defined to be `\t \f. t`
  21 >   "false" defined to be `\t \f. f`
  22
  23 In Racket, these can be defined like this:
  24
  25         (define true (lambda (t) (lambda (f) t)))
  26         (define false (lambda (t) (lambda (f) f)))
  27
  28 <OL start=8>
  29 <LI>Define a "neg" operator that negates "true" and "false".
  30
  31 Expected behavior:
  32
  33     (((neg true) 10) 20)
  34
  35 evaluates to 20, and
  36
  37     (((neg false) 10) 20)
  38
  39 evaluates to 10.
  40
  41 <LI>Define an "and" operator.
  42
  43 <LI>Define an "xor" operator.
  44
  45 (If you haven't seen this term before, here's a truth table:
  46
  47     true xor true = false
  48     true xor false = true
  49     false xor true = true
  50     false xor false = false
  51
  52 )
  53
  54 <LI>Inspired by our definition of boolean values, propose a data structure
  55 capable of representing one of the two values `black` or `white`.
  56 If we have
  57 one of those values, call it a "black-or-white value", we should be able to
  58 write:
  59
  60         the-value if-black if-white
  61
  62 (where `if-black` and `if-white` are anything), and get back one of `if-black` or
  63 `if-white`, depending on which of the black-or-white values we started with. Give
  64 a definition for each of `black` and `white`. (Do it in both lambda calculus
  65 and also in Racket.)
  66
  67 <LI>Now propose a data structure capable of representing one of the three values
  68 `red` `green` or `blue`, based on the same model. (Do it in both lambda
  69 calculus and also in Racket.)
  70 </OL>
  71
  72
  73
  74 Pairs
  75 -----
  76
  77 Recall our definitions of ordered pairs.
  78
  79 >   the pair (x,y) is defined as `\f. f x y`
  80
  81 To extract the first element of a pair p, you write:
  82
  83         p (\fst \snd. fst)
  84
  85 Here are some definitions in Racket:
  86
  87         (define make-pair (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (f) ((f fst) snd)))))
  88         (define get-first (lambda (fst) (lambda (snd) fst)))
  89         (define get-second (lambda (fst) (lambda (snd) snd)))
  90
  91 Now we can write:
  92
  93         (define p ((make-pair 10) 20))
  94         (p get-first)   ; will evaluate to 10
  95         (p get-second)  ; will evaluate to 20
  96
  97 If you're bothered by having the pair to the left and the function that
  98 operates on it come second, think about why it's being done this way: the pair
  99 is a package that takes a function for operating on its elements as an
 100 argument, and returns the result of operating on its elemens with that
 101 function. In other words, the pair is also a function.  (Of course, in the
 102 untyped lambda calculus, absolutely *everything* is a function: functors,
 103 arguments, abstracts, redexes, values---everything.)
 104
 105 If you like, you can disguise what's going on like this:
 106
 107         (define lifted-get-first (lambda (p) (p get-first)))
 108         (define lifted-get-second (lambda (p) (p get-second)))
 109
 110 Now you can write:
 111
 112         (lifted-get-first p)
 113
 114 instead of:
 115
 116         (p get-first)
 117
 118 However, the latter is still what's going on under the hood.
 119
 120
 121 <OL start=13>
 122 <LI>Define a `swap` function that reverses the elements of a pair.
 123
 124 Expected behavior:
 125
 126         (define p ((make-pair 10) 20))
 127         ((p swap) get-first) ; evaluates to 20
 128         ((p swap) get-second) ; evaluates to 10
 129
 130 Write out the definition of swap in Racket.
 131
 132
 133 <LI>Define a `dup` function that duplicates its argument to form a pair
 134 whose elements are the same.
 135 Expected behavior:
 136
 137         ((dup 10) get-first) ; evaluates to 10
 138         ((dup 10) get-second) ; evaluates to 10
 139
 140 <LI>Define a `sixteen` function that makes
 141 sixteen copies of its argument (and stores them in a data structure of
 142 your choice).
 143
 144 <LI>Inspired by our definition of ordered pairs, propose a data structure capable of representing ordered triples. That is,
 145
 146         (((make-triple M) N) P)
 147
 148 should return an object that behaves in a reasonable way to serve as a triple. In addition to defining the `make-triple` function, you have to show how to extract elements of your triple. Write a `get-first-of-triple` function, that does for triples what `get-first` does for pairs. Also write `get-second-of-triple` and `get-third-of-triple` functions.
 149
 150 <LI>Write a function `second-plus-third` that when given to your triple, returns the result of adding the second and third members of the triple.
 151
 152 You can help yourself to the following definition:
 153
 154     (define add (lambda (x) (lambda (y) (+ x y))))
 155
 156 <!-- Write a function that reverses the order of the elements in a list. [Only attempt this problem if you're feeling frisky, it's super hard unless you have lots of experience programming.]  -->
 157
 158 </OL>
 159