assignment1.mdwn

   1 Reduction
   2 ---------
   3
   4 Find "normal forms" for the following (that is, reduce them as far as it's possible to reduce
   5 them):
   6
   7     1. (\x \y. y x) z
   8     2. (\x (x x)) z
   9     3. (\x (\x x)) z
  10     4. (\x (\z x)) z
  11     5. (\x (x (\y y))) (\z (z z))
  12     6. (\x (x x)) (\x (x x))
  13     7. (\x (x x x)) (\x (x x x))
  14
  15
  16 Booleans
  17 --------
  18
  19 Recall our definitions of true and false.
  20
  21         "true" defined to be `\t \f. t`
  22         "false" defined to be `\t \f. f`
  23
  24 In Racket, these can be defined like this:
  25
  26         (define true (lambda (t) (lambda (f) t)))
  27         (define false (lambda (t) (lambda (f) f)))
  28
  29 * Define a "neg" operator that negates "true" and "false".
  30
  31 Expected behavior:
  32
  33     (((neg true) 10) 20)
  34
  35 evaluates to 20, and
  36
  37     (((neg false) 10) 20)
  38
  39 evaluates to 10.
  40
  41 * Define an "and" operator.
  42
  43 * Define an "xor" operator.
  44
  45 (If you haven't seen this term before, here's a truth table:
  46
  47     true xor true = false
  48     true xor false = true
  49     false xor true = true
  50     false xor false = false
  51
  52 )
  53
  54 * Inspired by our definition of boolean values, propose a data structure
  55 capable of representing one of the two values "black" or "white".
  56 If we have
  57 one of those values, call it a black-or-white-value, we should be able to
  58 write:
  59
  60         the-black-or-white-value if-black if-white
  61
  62 (where if-black and if-white are anything), and get back one of if-black or
  63 if-white, depending on which of the black-or-white values we started with. Give
  64 a definition for each of "black" and "white". (Do it in both lambda calculus
  65 and also in Racket.)
  66
  67 * Now propose a data structure capable of representing one of the three values
  68 "red" "green" or "blue," based on the same model. (Do it in both lambda
  69 calculus and also in Racket.)
  70
  71
  72
  73 Pairs
  74 -----
  75
  76 Recall our definitions of ordered pairs.
  77
  78         the pair (x,y) is defined as `\f. f x y`
  79
  80 To extract the first element of a pair p, you write:
  81
  82         p (\fst \snd. fst)
  83
  84 Here are some defintions in Racket:
  85
  86         (define make-pair (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (f) ((f fst) snd)))))
  87         (define get-first (lambda (fst) (lambda (snd) fst)))
  88         (define get-second (lambda (fst) (lambda (snd) snd)))
  89
  90 Now we can write:
  91
  92         (define p ((make-pair 10) 20))
  93         (p get-first)   ; will evaluate to 10
  94         (p get-second)  ; will evaluate to 20
  95
  96 If you're bothered by having the pair to the left and the function that operates on it come second, think about why it's being done this way: the pair is a package that takes a function for operating on its elements as an argument, and returns the result of operating on its elemens with that function. In other words, the pair is also a function.
  97
  98 If you like, you can disguise what's going on like this:
  99
 100         (define lifted-get-first (lambda (p) (p get-first)))
 101         (define lifted-get-second (lambda (p) (p get-second)))
 102
 103 Now you can write:
 104
 105         (lifted-get-first p)
 106
 107 instead of:
 108
 109         (p get-first)
 110
 111 However, the latter is still what's going on under the hood.
 112
 113
 114 13. Define a "swap" function that reverses the elements of a pair.
 115 Expected behavior:
 116
 117         (define p ((make-pair 10) 20))
 118         ((p swap) get-first) ; evaluates to 20
 119         ((p swap) get-second) ; evaluates to 10
 120
 121 Write out the definition of swap in Racket.
 122
 123
 124 14. Define a "dup" function that duplicates its argument to form a pair
 125 whose elements are the same.
 126 Expected behavior:
 127
 128         ((dup 10) get-first) ; evaluates to 10
 129         ((dup 10) get-second) ; evaluates to 10
 130
 131 15. Define a "sixteen" function that makes
 132 sixteen copies of its argument (and stores them in a data structure of
 133 your choice).
 134
 135 16. Inspired by our definition of ordered pairs, propose a data structure capable of representing ordered tripes. That is,
 136
 137         (((make-triple M) N) P)
 138
 139 should return an object that behaves in a reasonable way to serve as a triple. In addition to defining the make-triple function, you have to show how to extraxt elements of your triple. Write a get-first-of-triple function, that does for triples what get-first does for pairs. Also write get-second-of-triple and get-third-of-triple functions.
 140
 141 17. Write a function second-plus-third that when given to your triple, returns the result of adding the second and third members of the triple.
 142
 143 You can help yourself to the following definition:
 144
 145     (define add (lambda (x) (lambda (y) (+ x y))))
 146
 147 18. [Super hard, unless you have lots of experience programming] Write a function that reverses the order of the elements in a list.