arithmetic.mdwn

   1 Here are a bunch of pre-tested operations for the untyped lambda calculus. In some cases multiple versions are offered.
   2
   3         ; booleans
   4         let true = \y n. y  in ; aka K
   5         let false = \y n. n  in ; aka K I
   6         let and = \p q. p q false  in ; or
   7         let and = \p q. p q p  in ; aka S C I
   8         let or = \p q. p true q  in ; or
   9         let or = \p q. p p q  in ; aka M
  10         let not = \p. p false true  in ; or
  11         let not = \p y n. p n y  in ; aka C
  12         let xor = \p q. p (not q) q  in
  13         let iff = \p q. not (xor p q)  in ; or
  14         let iff = \p q. p q (not q)  in
  15
  16         ; pairs
  17         let make_pair = \x y f. f x y  in
  18         let get_1st = \x y. x  in ; aka true
  19         let get_2nd = \x y. y  in ; aka false
  20
  21         ; triples
  22         let make_triple = \x y z f. f x y z  in
  23
  24
  25         ; Church numerals: basic operations
  26
  27         let zero = \s z. z  in ; aka false
  28         let one = \s z. s z  in ; aka I
  29         let succ = \n s z. s (n s z)  in
  30         ; for any Church numeral n > zero : n (K y) z ~~> y
  31         let iszero = \n. n (\x. false) true  in
  32
  33
  34         ; version 3 lists
  35
  36         let empty = \f z. z  in
  37         let make_list = \h t f z. f h (t f z)  in
  38         let isempty = \lst. lst (\h sofar. false) true  in
  39         let head = \lst. lst (\h sofar. h) junk  in
  40         let tail = \lst. (\shift lst. lst shift (make_pair empty junk) get_2nd)
  41                                 ; where shift is
  42                                 (\h p. p (\t y. make_pair (make-list h t) t))  in
  43         let length = \lst. lst (\h sofar. succ sofar) 0  in
  44         let map = \f lst. lst (\h sofar. make_list (f h) sofar) empty  in
  45         let filter = \f lst. lst (\h sofar. f h (make_list h sofar) sofar) empty  in ; or
  46         let filter = \f lst. lst (\h. f h (make_list h) I) empty  in
  47
  48
  49         ; version 1 lists
  50
  51         let empty = make_pair true junk  in
  52         let make_list = \h t. make_pair false (make_pair h t)  in
  53         let isempty = \lst. lst get_1st  in
  54         let head = \lst. isempty lst err (lst get_2nd get_1st)  in
  55         let tail_empty = empty  in
  56         let tail = \lst. isempty lst tail_empty (lst get_2nd get_2nd)  in
  57
  58
  59         ; more math with Church numerals
  60
  61         let add = \m n. m succ n  in ; or
  62         let add = \m n s z. m s (n s z)  in
  63         let mul = \m n. m (\z. add n z) zero  in ; or
  64         let mul = \m n s. m (n s)  in
  65         let pow = \b exp. exp (mul b) one  in ; or
  66         ; b succ : adds b
  67         ; b (b succ) ; adds b b times, ie adds b^2
  68         ; b (b (b succ)) ; adds b^2 b times, ie adds b^3
  69         ; exp b succ ; adds b^exp
  70         let pow = \b exp s z. exp b s z  in
  71
  72
  73         ; three strategies for predecessor
  74         let pred_zero = zero  in
  75         let pred = (\shift n. n shift (make_pair zero pred_zero) get_2nd)
  76                 ; where shift is
  77                 (\p. p (\x y. make_pair (succ x) x))  in ; or
  78         ; from Oleg; observe that for any Church numeral n: n I ~~> I
  79         let pred = \n. iszero n zero
  80                                         ; else
  81                                         (n (\x. x I ; when x is the base term, this will be K zero
  82                                                           ; when x is a Church numeral, it will be I
  83                                                 (succ x))
  84                                           ; base term
  85                                           (K (K zero))
  86                                         )  in
  87         ; from Bunder/Urbanek
  88         let pred = \n s z. n (\u v. v (u s)) (K z) I  in ; or
  89
  90
  91         ; inefficient but simple comparisons
  92         let leq = \m n. iszero (n pred m)  in
  93         let lt = \m n. not (leq n m)  in
  94         let eq = \m n. and (leq m n) (leq n m)  in ; or
  95
  96
  97         ; more efficient comparisons, Oleg's gt provided some simplifications
  98         let leq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
  99                         ; where base is
 100                         (make_pair true junk)
 101                         ; and build is
 102                         (\p. make_pair false p)
 103                         ; and consume is
 104                         (\p. p get_1st p (p get_2nd))  in
 105         let lt = \m n. not (leq n m)  in
 106         let eq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
 107                         ; 2nd element of a pair will now be of the form (K sthg) or I
 108                         ; we supply the pair being consumed itself as an argument
 109                         ; getting back either sthg or the pair we just consumed
 110                         ; base is
 111                         (make_pair true (K (make_pair false I)))
 112                         ; and build is
 113                         (\p. make_pair false (K p))
 114                         ; and consume is
 115                         (\p. p get_2nd p)  in
 116
 117
 118         ; -n is a fixedpoint of \x. add (add n x) x
 119         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 120         ; instead:
 121         let sub = \m n. n pred m  in ; or
 122         ; how many times we can succ n until m <= result
 123         let sub = \m n. (\base build. m build base (\cur fin sofar. sofar))
 124                                 ; where base is
 125                                 (make_triple n false zero)
 126                                 ; and build is
 127                                 (\t. t (\cur fin sofar. or fin (leq m cur)
 128                                                 (make_triple cur true sofar) ; enough
 129                                                 (make_triple (succ cur) false (succ sofar)) ; continue
 130                                 ))  in
 131         ; or
 132         let sub = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
 133                         ; where base is
 134                         (make_pair zero I) ; see second defn of eq for explanation of 2nd element
 135                         ; and build is
 136                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p)))
 137                         ; and consume is
 138                         (\p. p get_2nd p)  in
 139
 140
 141         let min = \m n. sub m (sub m n) in
 142         let max = \m n. add n (sub m n) in
 143
 144
 145         ; (m/n) is a fixedpoint of \x. add (sub (mul n x) m) x
 146         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 147         ; instead:
 148         ; how many times we can sub n from m while n <= result
 149         let div = \m n. (\base build. m build base (\cur go sofar. sofar))
 150                                 ; where base is
 151                                 (make_triple m true zero)
 152                                 ; and build is
 153                                 (\t. t (\cur go sofar. and go (leq n cur)
 154                                                 (make_triple (sub cur n) true (succ sofar)) ; continue
 155                                                 (make_triple cur false sofar) ; enough
 156                                 ))  in
 157     ; what's left after sub n from m while n <= result
 158     let mod = \m n. (\base build. m build base (\cur go. cur))
 159                 ; where base is
 160                 (make_pair m true)
 161                 ; and build is
 162                 (\p. p (\cur go. and go (leq n cur)
 163                         (make_pair (sub cur n) true) ; continue
 164                         (make_pair cur false) ; enough
 165                 ))  in
 166
 167         ; or
 168         let divmod = (\base build mtail. \m n.
 169                                         (\dhead. m (mtail dhead) (\sel. dhead (sel 0 0)))
 170                                                         (n build base (\x y z. z junk))
 171                                                         (\t u x y z. make_pair t u) )
 172                                 ; where base is
 173                                 (make_triple succ (K 0) I) ; see second defn of eq for explanation of 3rd element
 174                                 ; and build is
 175                         (\t. make_triple I succ (K t))
 176                                 ; and mtail is
 177                                 (\dhead d. d (\dz mz df mf drest sel. drest dhead (sel (df dz) (mf mz))))
 178         in
 179         let div = \n d. divmod n d get_1st  in
 180         let mod = \n d. divmod n d get_2nd  in
 181
 182
 183         ; sqrt n is a fixedpoint of \x. div (div (add n (mul x x)) 2) x
 184         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 185
 186
 187         ; (log base b of m) is a fixedpoint of \x. add (sub (pow b x) m) x
 188         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 189         ; instead:
 190         ; how many times we can mul b by b while result <= m
 191         let log = \m b. (\base build. m build base (\cur go sofar. sofar))
 192                 ; where base is
 193                 (make_triple b true 0)
 194                 ; and build is
 195                 (\t. t (\cur go sofar. and go (leq cur m)
 196                            (make_triple (mul cur b) true (succ sofar)) ; continue
 197                            (make_triple cur false sofar) ; enough
 198                 ))  in
 199
 200
 201         ; Curry's fixed point combinator
 202         let Y = \f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h)) in
 203         ; Turing's fixed point combinator
 204         let Z = (\u f. f (u u f)) (\u f. f (u u f))  in
 205
 206
 207         ; length for version 1 lists
 208         let length = Y (\self lst. isempty lst 0 (succ (self (tail lst))))  in
 209
 210
 211         ; numhelper 0 f z ~~> z
 212         ; when n > 0: numhelper n f z ~~> f (pred n)
 213         ; compare Bunder/Urbanek pred
 214         let numhelper = \n. n (\u v. v (u succ)) (K 0) (\p f z. f p)  in
 215
 216         ; accepts fixed point combinator as a parameter, so you can use different ones
 217         let fact = \y. y (\self n. numhelper n (\p. mul n (self p)) 1)  in
 218
 219
 220
 221         fact Z 3  ; returns 6
 222
 223
 224 <!--
 225         ; my original efficient comparisons
 226         let leq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st (\x. false) true)
 227                         ; where base is
 228                         (make_pair zero I) ; supplying this pair as an arg to its 2nd term returns the pair
 229                         ; and build is
 230                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p))) ; supplying the made pair as an arg to its 2nd term returns p (the previous pair)
 231                         ; and consume is
 232                         (\p. p get_2nd p)  in
 233         let lt = \m n. not (leq n m) in
 234         let eq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) true (\x. false) true)
 235                         ; where base is
 236                         (make_pair zero (K (make_pair one I)))
 237                         ; and build is
 238                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p)))
 239                         ; and consume is
 240                         (\p. p get_2nd p)  in ; or
 241 -->