arithmetic.mdwn

   1 Here are a bunch of pre-tested operations for the untyped lambda calculus. In some cases multiple versions are offered.
   2
   3         ; booleans
   4         let true = \y n. y  in ; aka K
   5         let false = \y n. n  in ; aka K I
   6         let and = \p q. p q false  in ; or
   7         let and = \p q. p q p  in ; aka S C I
   8         let or = \p q. p true q  in ; or
   9         let or = \p q. p p q  in ; aka M
  10         let not = \p. p false true  in ; or
  11         let not = \p y n. p n y  in ; aka C
  12         let xor = \p q. p (not q) q  in
  13         let iff = \p q. not (xor p q)  in ; or
  14         let iff = \p q. p q (not q)  in
  15
  16         ; pairs
  17         let make_pair = \x y f. f x y  in
  18         let get_1st = \x y. x  in ; aka true
  19         let get_2nd = \x y. y  in ; aka false
  20
  21         ; triples
  22         let make_triple = \x y z f. f x y z  in
  23
  24
  25         ; Church numerals
  26         let zero = \s z. z  in ; aka false
  27         let one = \s z. s z  in ; aka I
  28         let succ = \n s z. s (n s z)  in
  29         ; for any Church numeral n > zero : n (K y) z ~~> y
  30         let iszero = \n. n (\x. false) true  in
  31         let add = \m n. m succ n  in ; or
  32         let add = \m n s z. m s (n s z)  in
  33         let mul = \m n. m (\z. add n z) zero  in ; or
  34         let mul = \m n s. m (n s)  in
  35         let pow = \b exp. exp (mul b) one  in ; or
  36         ; b succ : adds b
  37         ; b (b succ) ; adds b b times, ie adds b^2
  38         ; b (b (b succ)) ; adds b^2 b times, ie adds b^3
  39         ; exp b succ ; adds b^exp
  40         let pow = \b exp s z. exp b s z  in
  41
  42         ; three strategies for predecessor
  43         let pred_zero = zero  in
  44         let pred = (\shift n. n shift (make_pair zero pred_zero) get_2nd)
  45                 ; where shift is
  46                 (\p. p (\x y. make_pair (succ x) x))  in ; or
  47         ; from Oleg; observe that for any Church numeral n: n I ~~> I
  48         let pred = \n. iszero n zero
  49                                         ; else
  50                                         (n (\x. x I ; when x is the base term, this will be K zero
  51                                                           ; when x is a Church numeral, it will be I
  52                                                 (succ x))
  53                                           ; base term
  54                                           (K (K zero))
  55                                         )  in
  56         ; from Bunder/Urbanek
  57         let pred = \n s z. n (\u v. v (u s)) (K z) I  in ; or
  58
  59
  60         ; inefficient but simple comparisons
  61         let leq = \m n. iszero (n pred m)  in
  62         let lt = \m n. not (leq n m)  in
  63         let eq = \m n. and (leq m n) (leq n m)  in ; or
  64
  65
  66         ; more efficient comparisons
  67         let leq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st (\x. false) true)
  68                         ; where base is
  69                         (make_pair zero I) ; supplying this pair as an arg to its 2nd term returns the pair
  70                         ; and build is
  71                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p))) ; supplying the made pair as an arg to its 2nd term returns p (the previous pair)
  72                         ; and consume is
  73                         (\p. p get_2nd p)  in
  74         let lt = \m n. not (leq n m) in
  75         let eq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) true (\x. false) true)
  76                         ; where base is
  77                         (make_pair zero (K (make_pair one I)))
  78                         ; and build is
  79                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p)))
  80                         ; and consume is
  81                         (\p. p get_2nd p)  in ; or
  82
  83
  84         ; more efficient comparisons, Oleg's gt provided some simplification
  85         let leq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
  86                         ; where base is
  87                         (make_pair true junk)
  88                         ; and build is
  89                         (\p. make_pair false p)
  90                         ; and consume is
  91                         (\p. p get_1st p (p get_2nd))  in
  92         let lt = \m n. not (leq n m)  in
  93         let eq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
  94                         ; 2nd element of a pair will now be of the form (K sthg) or I
  95                         ; we supply the pair being consumed itself as an argument
  96                         ; getting back either sthg or the pair we just consumed
  97                         ; base is
  98                         (make_pair true (K (make_pair false I)))
  99                         ; and build is
 100                         (\p. make_pair false (K p))
 101                         ; and consume is
 102                         (\p. p get_2nd p)  in
 103
 104         ; -n is a fixedpoint of \x. add (add n x) x
 105         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 106         ; instead:
 107         let sub = \m n. n pred m  in ; or
 108         ; how many times we can succ n until m <= result
 109         let sub = \m n. (\base build. m build base (\cur fin sofar. sofar))
 110                                 ; where base is
 111                                 (make_triple n false zero)
 112                                 ; and build is
 113                                 (\t. t (\cur fin sofar. or fin (leq m cur)
 114                                                 (make_triple cur true sofar) ; enough
 115                                                 (make_triple (succ cur) false (succ sofar)) ; continue
 116                                 ))  in
 117         ; or
 118         let sub = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
 119                         ; where base is
 120                         (make_pair zero I) ; see second defn of eq for explanation of 2nd element
 121                         ; and build is
 122                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p)))
 123                         ; and consume is
 124                         (\p. p get_2nd p)  in
 125
 126         let min = \m n. sub m (sub m n) in
 127         let max = \m n. add n (sub m n) in
 128
 129         ; (m/n) is a fixedpoint of \x. add (sub (mul n x) m) x
 130         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 131         ; instead:
 132         ; how many times we can sub n from m while n <= result
 133         let div = \m n. (\base build. m build base (\cur go sofar. sofar))
 134                                 ; where base is
 135                                 (make_triple m true zero)
 136                                 ; and build is
 137                                 (\t. t (\cur go sofar. and go (leq n cur)
 138                                                 (make_triple (sub cur n) true (succ sofar)) ; continue
 139                                                 (make_triple cur false sofar) ; enough
 140                                 ))  in
 141     ; what's left after sub n from m while n <= result
 142     let mod = \m n. (\base build. m build base (\cur go. cur))
 143                 ; where base is
 144                 (make_pair m true)
 145                 ; and build is
 146                 (\p. p (\cur go. and go (leq n cur)
 147                         (make_pair (sub cur n) true) ; continue
 148                         (make_pair cur false) ; enough
 149                 ))  in
 150
 151         ; or
 152         let divmod = (\base build mtail. \m n.
 153                                         (\dhead. m (mtail dhead) (\sel. dhead (sel 0 0)))
 154                                                         (n build base (\x y z. z junk))
 155                                                         (\t u x y z. make_pair t u) )
 156                                 ; where base is
 157                                 (make_triple succ (K 0) I) ; see second defn of eq for explanation of 3rd element
 158                                 ; and build is
 159                         (\t. make_triple I succ (K t))
 160                                 ; and mtail is
 161                                 (\dhead d. d (\dz mz df mf drest sel. drest dhead (sel (df dz) (mf mz))))
 162         in
 163         let div = \n d. divmod n d get_1st  in
 164         let mod = \n d. divmod n d get_2nd  in
 165
 166         ; sqrt n is a fixedpoint of \x. div (div (add n (mul x x)) 2) x
 167         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 168
 169         ; (log base b of m) is a fixedpoint of \x. add (sub (pow b x) m) x
 170         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 171         ; instead:
 172         ; how many times we can mul b by b while result <= m
 173         let log = \m b. (\base build. m build base (\cur go sofar. sofar))
 174                 ; where base is
 175                 (make_triple b true 0)
 176                 ; and build is
 177                 (\t. t (\cur go sofar. and go (leq cur m)
 178                            (make_triple (mul cur b) true (succ sofar)) ; continue
 179                            (make_triple cur false sofar) ; enough
 180                 ))  in
 181
 182         ; Curry's fixed point combinator
 183         let Y = \f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h)) in
 184         ; Turing's fixed point combinator
 185         let Z = (\u f. f (u u f)) (\u f. f (u u f))  in
 186
 187
 188
 189
 190         ; version 3 lists
 191         let empty = \f z. z  in
 192         let make_list = \h t f z. f h (t f z)  in
 193         let isempty = \lst. lst (\h sofar. false) true  in
 194         let head = \lst. lst (\h sofar. h) junk  in
 195         let tail = \lst. (\shift lst. lst shift (make_pair empty junk) get_2nd)
 196                                 ; where shift is
 197                                 (\h p. p (\t y. make_pair (make-list h t) t))  in
 198         let length = \lst. lst (\h sofar. succ sofar) zero  in
 199         let map = \f lst. lst (\h sofar. make_list (f h) sofar) empty  in
 200         let filter = \f lst. lst (\h sofar. f h (make_list h sofar) sofar) empty  in ; or
 201         let filter = \f lst. lst (\h. f h (make_list h) I) empty  in
 202
 203
 204         ; version 1 lists
 205         let empty = make_pair true junk  in
 206         let make_list = \h t. make_pair false (make_pair h t)  in
 207         let isempty = \lst. lst get_1st  in
 208         let head = \lst. isempty lst error (lst get_2nd get_1st)  in
 209         let tail_empty = empty  in
 210         let tail = \lst. isempty lst tail_empty (lst get_2nd get_2nd)  in
 211
 212         let length = Y (\self lst. isempty lst 0 (succ (self (tail lst))))  in
 213
 214
 215
 216         ; numhelper 0 f z ~~> z
 217         ; when n > 0: numhelper n f z ~~> f (pred n)
 218         ; compare Bunder/Urbanek pred
 219         let numhelper = \n. n (\u v. v (u succ)) (K 0) (\p f z. f p)  in
 220
 221         ; accepts fixed point combinator as a parameter, so you can use different ones
 222         let fact = \y. y (\self n. numhelper n (\p. mul n (self p)) 1)  in
 223
 224
 225         fact Z 3  ; returns 6
 226
 227