arithmetic.mdwn

   1 Here are a bunch of pre-tested operations for the untyped lambda calculus. In some cases multiple versions are offered.
   2
   3         ; booleans
   4         let true = \y n. y  in ; aka K
   5         let false = \y n. n  in ; aka K I
   6         let and = \p q. p q false  in ; or
   7         let and = \p q. p q p  in ; aka S C I
   8         let or = \p q. p true q  in ; or
   9         let or = \p q. p p q  in ; aka M
  10         let not = \p. p false true  in ; or
  11         let not = \p y n. p n y  in ; aka C
  12         let xor = \p q. p (not q) q  in
  13         let iff = \p q. not (xor p q)  in ; or
  14         let iff = \p q. p q (not q)  in
  15
  16         ; pairs
  17         let make_pair = \x y f. f x y  in
  18         let get_1st = \x y. x  in ; aka true
  19         let get_2nd = \x y. y  in ; aka false
  20
  21         ; triples
  22         let make_triple = \x y z f. f x y z  in
  23
  24
  25         ; Church numerals: basic operations
  26
  27         let zero = \s z. z  in ; aka false
  28         let one = \s z. s z  in ; aka I
  29         let succ = \n s z. s (n s z)  in
  30         ; for any Church numeral n > zero : n (K y) z ~~> y
  31         let iszero = \n. n (\x. false) true  in
  32
  33
  34         ; version 3 lists
  35
  36         let empty = \f z. z  in
  37         let make_list = \h t f z. f h (t f z)  in
  38         let isempty = \lst. lst (\h sofar. false) true  in
  39         let head = \lst. lst (\h sofar. h) junk  in
  40         let tail = \lst. (\shift lst. lst shift (make_pair empty junk) get_2nd)
  41                                 ; where shift is
  42                                 (\h p. p (\t y. make_pair (make_list h t) t))  in
  43         let length = \lst. lst (\h sofar. succ sofar) 0  in
  44         let map = \f lst. lst (\h sofar. make_list (f h) sofar) empty  in
  45         let filter = \f lst. lst (\h sofar. f h (make_list h sofar) sofar) empty  in ; or
  46         let filter = \f lst. lst (\h. f h (make_list h) I) empty  in
  47
  48         ; append list2 to list1 with: list1 make_list list2
  49         let singleton = \x f z. f x z  in
  50         let reverse = \lst. lst (\h sofar. sofar make_list (singleton h)) empty  in
  51         let zip = \left right. left (\h sofar. sofar (\x y. isempty y
  52                                                                                 sofar
  53                                                                                 (make_pair (make_list (\u v. head y (u v) h) x) (tail y))
  54                                                                         )
  55                                                                         (make_pair empty (map right (\h u v. u v h)))
  56                                                                 )
  57                                                 (\x y. reverse x)  in
  58         let all = \f lst. lst (\h sofar. and sofar (f h)) true  in
  59         let any = \f lst. lst (\h sofar. or sofar (f h)) false  in
  60
  61
  62         ; version 1 lists
  63
  64         let empty = make_pair true junk  in
  65         let make_list = \h t. make_pair false (make_pair h t)  in
  66         let isempty = \lst. lst get_1st  in
  67         let head = \lst. isempty lst err (lst get_2nd get_1st)  in
  68         let tail_empty = empty  in
  69         let tail = \lst. isempty lst tail_empty (lst get_2nd get_2nd)  in
  70
  71
  72         ; more math with Church numerals
  73
  74         let add = \m n. m succ n  in ; or
  75         let add = \m n s z. m s (n s z)  in
  76         let mul = \m n. m (\z. add n z) zero  in ; or
  77         let mul = \m n s. m (n s)  in
  78         let pow = \b exp. exp (mul b) one  in ; or
  79         ; b succ : adds b
  80         ; b (b succ) ; adds b b times, ie adds b^2
  81         ; b (b (b succ)) ; adds b^2 b times, ie adds b^3
  82         ; exp b succ ; adds b^exp
  83         let pow = \b exp s z. exp b s z  in
  84
  85
  86         ; three strategies for predecessor
  87         let pred_zero = zero  in
  88         let pred = (\shift n. n shift (make_pair zero pred_zero) get_2nd)
  89                 ; where shift is
  90                 (\p. p (\x y. make_pair (succ x) x))  in ; or
  91         ; from Oleg; observe that for any Church numeral n: n I ~~> I
  92         let pred = \n. iszero n zero
  93                                         ; else
  94                                         (n (\x. x I ; when x is the base term, this will be K zero
  95                                                           ; when x is a Church numeral, it will be I
  96                                                 (succ x))
  97                                           ; base term
  98                                           (K (K zero))
  99                                         )  in
 100         ; from Bunder/Urbanek
 101         let pred = \n s z. n (\u v. v (u s)) (K z) I  in ; or
 102
 103
 104         ; inefficient but simple comparisons
 105         let leq = \m n. iszero (n pred m)  in
 106         let lt = \m n. not (leq n m)  in
 107         let eq = \m n. and (leq m n) (leq n m)  in ; or
 108
 109
 110         ; more efficient comparisons, Oleg's gt provided some simplifications
 111         let leq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
 112                         ; where base is
 113                         (make_pair true junk)
 114                         ; and build is
 115                         (\p. make_pair false p)
 116                         ; and consume is
 117                         (\p. p get_1st p (p get_2nd))  in
 118         let lt = \m n. not (leq n m)  in
 119         let eq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
 120                         ; 2nd element of a pair will now be of the form (K sthg) or I
 121                         ; we supply the pair being consumed itself as an argument
 122                         ; getting back either sthg or the pair we just consumed
 123                         ; base is
 124                         (make_pair true (K (make_pair false I)))
 125                         ; and build is
 126                         (\p. make_pair false (K p))
 127                         ; and consume is
 128                         (\p. p get_2nd p)  in
 129
 130
 131         ; -n is a fixedpoint of \x. add (add n x) x
 132         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 133         ; instead:
 134         let sub = \m n. n pred m  in ; or
 135         ; how many times we can succ n until m <= result
 136         let sub = \m n. (\base build. m build base (\cur fin sofar. sofar))
 137                                 ; where base is
 138                                 (make_triple n false zero)
 139                                 ; and build is
 140                                 (\t. t (\cur fin sofar. or fin (leq m cur)
 141                                                 (make_triple cur true sofar) ; enough
 142                                                 (make_triple (succ cur) false (succ sofar)) ; continue
 143                                 ))  in
 144         ; or
 145         let sub = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
 146                         ; where base is
 147                         (make_pair zero I) ; see second defn of eq for explanation of 2nd element
 148                         ; and build is
 149                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p)))
 150                         ; and consume is
 151                         (\p. p get_2nd p)  in
 152
 153
 154         let min = \m n. sub m (sub m n) in
 155         let max = \m n. add n (sub m n) in
 156
 157
 158         ; (m/n) is a fixedpoint of \x. add (sub (mul n x) m) x
 159         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 160         ; instead:
 161         ; how many times we can sub n from m while n <= result
 162         let div = \m n. (\base build. m build base (\cur go sofar. sofar))
 163                                 ; where base is
 164                                 (make_triple m true zero)
 165                                 ; and build is
 166                                 (\t. t (\cur go sofar. and go (leq n cur)
 167                                                 (make_triple (sub cur n) true (succ sofar)) ; continue
 168                                                 (make_triple cur false sofar) ; enough
 169                                 ))  in
 170     ; what's left after sub n from m while n <= result
 171     let mod = \m n. (\base build. m build base (\cur go. cur))
 172                 ; where base is
 173                 (make_pair m true)
 174                 ; and build is
 175                 (\p. p (\cur go. and go (leq n cur)
 176                         (make_pair (sub cur n) true) ; continue
 177                         (make_pair cur false) ; enough
 178                 ))  in
 179
 180         ; or
 181         let divmod = (\base build mtail. \m n.
 182                                         (\dhead. m (mtail dhead) (\sel. dhead (sel 0 0)))
 183                                                         (n build base (\x y z. z junk))
 184                                                         (\t u x y z. make_pair t u) )
 185                                 ; where base is
 186                                 (make_triple succ (K 0) I) ; see second defn of eq for explanation of 3rd element
 187                                 ; and build is
 188                         (\t. make_triple I succ (K t))
 189                                 ; and mtail is
 190                                 (\dhead d. d (\dz mz df mf drest sel. drest dhead (sel (df dz) (mf mz))))
 191         in
 192         let div = \n d. divmod n d get_1st  in
 193         let mod = \n d. divmod n d get_2nd  in
 194
 195
 196         ; sqrt n is a fixedpoint of \x. div (div (add n (mul x x)) 2) x
 197         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 198
 199
 200         ; (log base b of m) is a fixedpoint of \x. add (sub (pow b x) m) x
 201         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 202         ; instead:
 203         ; how many times we can mul b by b while result <= m
 204         let log = \m b. (\base build. m build base (\cur go sofar. sofar))
 205                 ; where base is
 206                 (make_triple b true 0)
 207                 ; and build is
 208                 (\t. t (\cur go sofar. and go (leq cur m)
 209                            (make_triple (mul cur b) true (succ sofar)) ; continue
 210                            (make_triple cur false sofar) ; enough
 211                 ))  in
 212
 213
 214         ; Rosenbloom's fixed point combinator
 215         let Y = \f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h)) in
 216         ; Turing's fixed point combinator
 217         let Theta = (\u f. f (u u f)) (\u f. f (u u f))  in
 218
 219
 220         ; length for version 1 lists
 221         let length = Y (\self lst. isempty lst 0 (succ (self (tail lst))))  in
 222
 223
 224         ; numhelper 0 f z ~~> z
 225         ; when n > 0: numhelper n f z ~~> f (pred n)
 226         ; compare Bunder/Urbanek pred
 227         let numhelper = \n. n (\u v. v (u succ)) (K 0) (\p f z. f p)  in
 228
 229         ; accepts fixed point combinator as a parameter, so you can use different ones
 230         let fact = \y. y (\self n. numhelper n (\p. mul n (self p)) 1)  in
 231
 232
 233
 234         fact Theta 3  ; returns 6
 235
 236
 237 <!--
 238         ; my original efficient comparisons
 239         let leq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st (\x. false) true)
 240                         ; where base is
 241                         (make_pair zero I) ; supplying this pair as an arg to its 2nd term returns the pair
 242                         ; and build is
 243                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p))) ; supplying the made pair as an arg to its 2nd term returns p (the previous pair)
 244                         ; and consume is
 245                         (\p. p get_2nd p)  in
 246         let lt = \m n. not (leq n m) in
 247         let eq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) true (\x. false) true)
 248                         ; where base is
 249                         (make_pair zero (K (make_pair one I)))
 250                         ; and build is
 251                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p)))
 252                         ; and consume is
 253                         (\p. p get_2nd p)  in ; or
 254 -->
 255
 256 <!--
 257         gcd
 258         pow_mod
 259
 260
 261         show Oleg's definition of integers:
 262                 church_to_int = \n sign. n
 263                 church_to_negint = \n sign s z. sign (n s z)
 264
 265                 ; int_to_church
 266                 abs = \int. int I
 267
 268                 sign_case = \int ifpos ifzero ifneg. int (K ifneg) (K ifpos) ifzero
 269
 270                 negate_int = \int. sign_case int (church_to_negint (abs int)) zero (church_to_int (abs int))
 271
 272         for more, see http://okmij.org/ftp/Computation/lambda-arithm-neg.scm
 273
 274 -->