arithmetic.mdwn

   1 Here are a bunch of pre-tested operations for the untyped lambda calculus. In some cases multiple versions are offered.
   2
   3         ; booleans
   4         let true = \y n. y  in ; aka K
   5         let false = \y n. n  in ; aka K I
   6         let and = \p q. p q false  in ; or
   7         let and = \p q. p q p  in ; aka S C I
   8         let or = \p q. p true q  in ; or
   9         let or = \p q. p p q  in ; aka M
  10         let not = \p. p false true  in ; or
  11         let not = \p y n. p n y  in ; aka C
  12         let xor = \p q. p (not q) q  in
  13         let iff = \p q. not (xor p q)  in ; or
  14         let iff = \p q. p q (not q)  in
  15
  16         ; pairs
  17         let make_pair = \x y f. f x y  in
  18         let get_1st = \x y. x  in ; aka true
  19         let get_2nd = \x y. y  in ; aka false
  20
  21         ; triples
  22         let make_triple = \x y z f. f x y z  in
  23
  24
  25         ; Church numerals: basic operations
  26
  27         let zero = \s z. z  in ; aka false
  28         let one = \s z. s z  in ; aka I
  29         let succ = \n s z. s (n s z)  in
  30         ; for any Church numeral n > zero : n (K y) z ~~> y
  31         let iszero = \n. n (\x. false) true  in
  32
  33
  34         ; version 3 lists
  35
  36         let empty = \f z. z  in
  37         let make_list = \h t f z. f h (t f z)  in
  38         let isempty = \lst. lst (\h sofar. false) true  in
  39         let head = \lst. lst (\h sofar. h) junk  in
  40         let tail = \lst. (\shift lst. lst shift (make_pair empty junk) get_2nd)
  41                                 ; where shift is
  42                                 (\h p. p (\t y. make_pair (make_list h t) t))  in
  43         let length = \lst. lst (\h sofar. succ sofar) 0  in
  44         let map = \f lst. lst (\h sofar. make_list (f h) sofar) empty  in
  45         let filter = \f lst. lst (\h sofar. f h (make_list h sofar) sofar) empty  in ; or
  46         let filter = \f lst. lst (\h. f h (make_list h) I) empty  in
  47         let reverse = \lst. lst (\h t. t make_list (\f n. f h n)) empty  in
  48
  49
  50         ; version 1 lists
  51
  52         let empty = make_pair true junk  in
  53         let make_list = \h t. make_pair false (make_pair h t)  in
  54         let isempty = \lst. lst get_1st  in
  55         let head = \lst. isempty lst err (lst get_2nd get_1st)  in
  56         let tail_empty = empty  in
  57         let tail = \lst. isempty lst tail_empty (lst get_2nd get_2nd)  in
  58
  59
  60         ; more math with Church numerals
  61
  62         let add = \m n. m succ n  in ; or
  63         let add = \m n s z. m s (n s z)  in
  64         let mul = \m n. m (\z. add n z) zero  in ; or
  65         let mul = \m n s. m (n s)  in
  66         let pow = \b exp. exp (mul b) one  in ; or
  67         ; b succ : adds b
  68         ; b (b succ) ; adds b b times, ie adds b^2
  69         ; b (b (b succ)) ; adds b^2 b times, ie adds b^3
  70         ; exp b succ ; adds b^exp
  71         let pow = \b exp s z. exp b s z  in
  72
  73
  74         ; three strategies for predecessor
  75         let pred_zero = zero  in
  76         let pred = (\shift n. n shift (make_pair zero pred_zero) get_2nd)
  77                 ; where shift is
  78                 (\p. p (\x y. make_pair (succ x) x))  in ; or
  79         ; from Oleg; observe that for any Church numeral n: n I ~~> I
  80         let pred = \n. iszero n zero
  81                                         ; else
  82                                         (n (\x. x I ; when x is the base term, this will be K zero
  83                                                           ; when x is a Church numeral, it will be I
  84                                                 (succ x))
  85                                           ; base term
  86                                           (K (K zero))
  87                                         )  in
  88         ; from Bunder/Urbanek
  89         let pred = \n s z. n (\u v. v (u s)) (K z) I  in ; or
  90
  91
  92         ; inefficient but simple comparisons
  93         let leq = \m n. iszero (n pred m)  in
  94         let lt = \m n. not (leq n m)  in
  95         let eq = \m n. and (leq m n) (leq n m)  in ; or
  96
  97
  98         ; more efficient comparisons, Oleg's gt provided some simplifications
  99         let leq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
 100                         ; where base is
 101                         (make_pair true junk)
 102                         ; and build is
 103                         (\p. make_pair false p)
 104                         ; and consume is
 105                         (\p. p get_1st p (p get_2nd))  in
 106         let lt = \m n. not (leq n m)  in
 107         let eq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
 108                         ; 2nd element of a pair will now be of the form (K sthg) or I
 109                         ; we supply the pair being consumed itself as an argument
 110                         ; getting back either sthg or the pair we just consumed
 111                         ; base is
 112                         (make_pair true (K (make_pair false I)))
 113                         ; and build is
 114                         (\p. make_pair false (K p))
 115                         ; and consume is
 116                         (\p. p get_2nd p)  in
 117
 118
 119         ; -n is a fixedpoint of \x. add (add n x) x
 120         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 121         ; instead:
 122         let sub = \m n. n pred m  in ; or
 123         ; how many times we can succ n until m <= result
 124         let sub = \m n. (\base build. m build base (\cur fin sofar. sofar))
 125                                 ; where base is
 126                                 (make_triple n false zero)
 127                                 ; and build is
 128                                 (\t. t (\cur fin sofar. or fin (leq m cur)
 129                                                 (make_triple cur true sofar) ; enough
 130                                                 (make_triple (succ cur) false (succ sofar)) ; continue
 131                                 ))  in
 132         ; or
 133         let sub = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
 134                         ; where base is
 135                         (make_pair zero I) ; see second defn of eq for explanation of 2nd element
 136                         ; and build is
 137                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p)))
 138                         ; and consume is
 139                         (\p. p get_2nd p)  in
 140
 141
 142         let min = \m n. sub m (sub m n) in
 143         let max = \m n. add n (sub m n) in
 144
 145
 146         ; (m/n) is a fixedpoint of \x. add (sub (mul n x) m) x
 147         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 148         ; instead:
 149         ; how many times we can sub n from m while n <= result
 150         let div = \m n. (\base build. m build base (\cur go sofar. sofar))
 151                                 ; where base is
 152                                 (make_triple m true zero)
 153                                 ; and build is
 154                                 (\t. t (\cur go sofar. and go (leq n cur)
 155                                                 (make_triple (sub cur n) true (succ sofar)) ; continue
 156                                                 (make_triple cur false sofar) ; enough
 157                                 ))  in
 158     ; what's left after sub n from m while n <= result
 159     let mod = \m n. (\base build. m build base (\cur go. cur))
 160                 ; where base is
 161                 (make_pair m true)
 162                 ; and build is
 163                 (\p. p (\cur go. and go (leq n cur)
 164                         (make_pair (sub cur n) true) ; continue
 165                         (make_pair cur false) ; enough
 166                 ))  in
 167
 168         ; or
 169         let divmod = (\base build mtail. \m n.
 170                                         (\dhead. m (mtail dhead) (\sel. dhead (sel 0 0)))
 171                                                         (n build base (\x y z. z junk))
 172                                                         (\t u x y z. make_pair t u) )
 173                                 ; where base is
 174                                 (make_triple succ (K 0) I) ; see second defn of eq for explanation of 3rd element
 175                                 ; and build is
 176                         (\t. make_triple I succ (K t))
 177                                 ; and mtail is
 178                                 (\dhead d. d (\dz mz df mf drest sel. drest dhead (sel (df dz) (mf mz))))
 179         in
 180         let div = \n d. divmod n d get_1st  in
 181         let mod = \n d. divmod n d get_2nd  in
 182
 183
 184         ; sqrt n is a fixedpoint of \x. div (div (add n (mul x x)) 2) x
 185         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 186
 187
 188         ; (log base b of m) is a fixedpoint of \x. add (sub (pow b x) m) x
 189         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 190         ; instead:
 191         ; how many times we can mul b by b while result <= m
 192         let log = \m b. (\base build. m build base (\cur go sofar. sofar))
 193                 ; where base is
 194                 (make_triple b true 0)
 195                 ; and build is
 196                 (\t. t (\cur go sofar. and go (leq cur m)
 197                            (make_triple (mul cur b) true (succ sofar)) ; continue
 198                            (make_triple cur false sofar) ; enough
 199                 ))  in
 200
 201
 202         ; Rosenbloom's fixed point combinator
 203         let Y = \f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h)) in
 204         ; Turing's fixed point combinator
 205         let Theta = (\u f. f (u u f)) (\u f. f (u u f))  in
 206
 207
 208         ; length for version 1 lists
 209         let length = Y (\self lst. isempty lst 0 (succ (self (tail lst))))  in
 210
 211
 212         ; numhelper 0 f z ~~> z
 213         ; when n > 0: numhelper n f z ~~> f (pred n)
 214         ; compare Bunder/Urbanek pred
 215         let numhelper = \n. n (\u v. v (u succ)) (K 0) (\p f z. f p)  in
 216
 217         ; accepts fixed point combinator as a parameter, so you can use different ones
 218         let fact = \y. y (\self n. numhelper n (\p. mul n (self p)) 1)  in
 219
 220
 221
 222         fact Theta 3  ; returns 6
 223
 224
 225 <!--
 226         ; my original efficient comparisons
 227         let leq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st (\x. false) true)
 228                         ; where base is
 229                         (make_pair zero I) ; supplying this pair as an arg to its 2nd term returns the pair
 230                         ; and build is
 231                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p))) ; supplying the made pair as an arg to its 2nd term returns p (the previous pair)
 232                         ; and consume is
 233                         (\p. p get_2nd p)  in
 234         let lt = \m n. not (leq n m) in
 235         let eq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) true (\x. false) true)
 236                         ; where base is
 237                         (make_pair zero (K (make_pair one I)))
 238                         ; and build is
 239                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p)))
 240                         ; and consume is
 241                         (\p. p get_2nd p)  in ; or
 242 -->
 243
 244 <!--
 245         gcd
 246         pow_mod
 247
 248
 249         show Oleg's definition of integers:
 250                 church_to_int = \n sign. n
 251                 church_to_negint = \n sign s z. sign (n s z)
 252
 253                 ; int_to_church
 254                 abs = \int. int I
 255
 256                 sign_case = \int ifpos ifzero ifneg. int (K ifneg) (K ifpos) ifzero
 257
 258                 negate_int = \int. sign_case int (church_to_negint (abs int)) zero (church_to_int (abs int))
 259
 260         for more, see http://okmij.org/ftp/Computation/lambda-arithm-neg.scm
 261
 262 -->