advanced_topics/monads_in_category_theory.mdwn

   1 **Don't try to read this yet!!! Many substantial edits are still in process.
   2 Will be ready soon.**
   3
   4 Caveats
   5 -------
   6 I really don't know much category theory. Just enough to put this
   7 together. Also, this really is "put together." I haven't yet found an
   8 authoritative source (that's accessible to a category theory beginner like
   9 myself) that discusses the correspondence between the category-theoretic and
  10 functional programming uses of these notions in enough detail to be sure that
  11 none of the pieces here is mistaken.
  12 In particular, it wasn't completely obvious how to map the polymorphism on the
  13 programming theory side into the category theory. The way I accomplished this
  14 may be more complex than it needs to be.
  15 Also I'm bothered by the fact that our `<=<` operation is only partly defined
  16 on our domain of natural transformations.
  17 There are three additional points below that I wonder whether may be too
  18 cavalier.
  19 But all considered, this does seem to
  20 me to be a reasonable way to put the pieces together. We very much welcome
  21 feedback from anyone who understands these issues better, and will make
  22 corrections.
  23
  24
  25 Monoids
  26 -------
  27 A **monoid** is a structure <code>(S,&#8902;,z)</code> consisting of an associative binary operation <code>&#8902;</code> over some set `S`, which is closed under <code>&#8902;</code>, and which contains an identity element `z` for <code>&#8902;</code>. That is:
  28
  29
  30 <pre>
  31         for all s1, s2, s3 in S:
  32           (i) s1&#8902;s2 etc are also in S
  33          (ii) (s1&#8902;s2)&#8902;s3 = s1&#8902;(s2&#8902;s3)
  34         (iii) z&#8902;s1 = s1 = s1&#8902;z
  35 </pre>
  36
  37 Some examples of monoids are:
  38
  39 *       finite strings of an alphabet `A`, with <code>&#8902;</code> being concatenation and `z` being the empty string
  40 *       all functions <code>X&rarr;X</code> over a set `X`, with <code>&#8902;</code> being composition and `z` being the identity function over `X`
  41 *       the natural numbers with <code>&#8902;</code> being plus and `z` being 0 (in particular, this is a **commutative monoid**). If we use the integers, or the naturals mod n, instead of the naturals, then every element will have an inverse and so we have not merely a monoid but a **group**.
  42 *       if we let <code>&#8902;</code> be multiplication and `z` be 1, we get different monoids over the same sets as in the previous item.
  43
  44 Categories
  45 ----------
  46 A **category** is a generalization of a monoid. A category consists of a class of **elements**, and a class of **morphisms** between those elements. Morphisms are sometimes also called maps or arrows. They are something like functions (and as we'll see below, given a set of functions they'll determine a category). However, a single morphism only maps between a single source element and a single target element. Also, there can be multiple distinct morphisms between the same source and target, so the identity of a morphism goes beyond its "extension."
  47
  48 When a morphism `f` in category <b>C</b> has source `C1` and target `C2`, we'll write <code>f:C1&rarr;C2</code>.
  49
  50 To have a category, the elements and morphisms have to satisfy some constraints:
  51
  52 <pre>
  53           (i) the class of morphisms has to be closed under composition:
  54               where f:C1&rarr;C2 and g:C2&rarr;C3, g &#8728; f is also a
  55               morphism of the category, which maps C1&rarr;C3.
  56
  57          (ii) composition of morphisms has to be associative
  58
  59         (iii) every element X of the category has to have an identity
  60               morphism 1<sub>X</sub>, which is such that for every morphism f:C1&rarr;C2:
  61               1<sub>C2</sub> &#8728; f = f = f &#8728; 1<sub>C1</sub>
  62 </pre>
  63
  64 These parallel the constraints for monoids. Note that there can be multiple distinct morphisms between an element `X` and itself; they need not all be identity morphisms. Indeed from (iii) it follows that each element can have only a single identity morphism.
  65
  66 A good intuitive picture of a category is as a generalized directed graph, where the category elements are the graph's nodes, and there can be multiple directed edges between a given pair of nodes, and nodes can also have multiple directed edges to themselves. Morphisms correspond to directed paths of length &ge; 0 in the graph.
  67
  68
  69 Some examples of categories are:
  70
  71 *       Categories whose elements are sets and whose morphisms are functions between those sets. Here the source and target of a function are its domain and range, so distinct functions sharing a domain and range (e.g., `sin` and `cos`) are distinct morphisms between the same source and target elements. The identity morphism for any element/set is just the identity function for that set.
  72
  73 *       any monoid <code>(S,&#8902;,z)</code> generates a category with a single element `Q`; this `Q` need not have any relation to `S`. The members of `S` play the role of *morphisms* of this category, rather than its elements. All of these morphisms are understood to map `Q` to itself. The result of composing the morphism consisting of `s1` with the morphism `s2` is the morphism `s3`, where <code>s3=s1&#8902;s2</code>. The identity morphism for the (single) category element `Q` is the monoid's identity `z`.
  74
  75 *       a **preorder** is a structure <code>(S, &le;)</code> consisting of a reflexive, transitive, binary relation on a set `S`. It need not be connected (that is, there may be members `s1`,`s2` of `S` such that neither <code>s1 &le; s2</code> nor <code>s2 &le; s1</code>). It need not be anti-symmetric (that is, there may be members `s1`,`s2` of `S` such that <code>s1 &le; s2</code> and <code>s2 &le; s1</code> but `s1` and `s2` are not identical). Some examples:
  76
  77         *       sentences ordered by logical implication ("p and p" implies and is implied by "p", but these sentences are not identical; so this illustrates a pre-order without anti-symmetry)
  78         *       sets ordered by size (this illustrates it too)
  79
  80         Any pre-order <code>(S,&le;)</code> generates a category whose elements are the members of `S` and which has only a single morphism between any two elements `s1` and `s2`, iff <code>s1 &le; s2</code>.
  81
  82
  83 Functors
  84 --------
  85 A **functor** is a "homomorphism", that is, a structure-preserving mapping, between categories. In particular, a functor `F` from category <b>C</b> to category <b>D</b> must:
  86
  87 <pre>
  88           (i) associate with every element C1 of <b>C</b> an element F(C1) of <b>D</b>
  89
  90          (ii) associate with every morphism f:C1&rarr;C2 of <b>C</b> a morphism F(f):F(C1)&rarr;F(C2) of <b>D</b>
  91
  92         (iii) "preserve identity", that is, for every element C1 of <b>C</b>:
  93               F of C1's identity morphism in <b>C</b> must be the identity morphism of F(C1) in <b>D</b>:
  94               F(1<sub>C1</sub>) = 1<sub>F(C1)</sub>.
  95
  96          (iv) "distribute over composition", that is for any morphisms f and g in <b>C</b>:
  97               F(g &#8728; f) = F(g) &#8728; F(f)
  98 </pre>
  99
 100 A functor that maps a category to itself is called an **endofunctor**. The (endo)functor that maps every element and morphism of <b>C</b> to itself is denoted `1C`.
 101
 102 How functors compose: If `G` is a functor from category <b>C</b> to category <b>D</b>, and `K` is a functor from category <b>D</b> to category <b>E</b>, then `KG` is a functor which maps every element `C1` of <b>C</b> to element `K(G(C1))` of <b>E</b>, and maps every morphism `f` of <b>C</b> to morphism `K(G(f))` of <b>E</b>.
 103
 104 I'll assert without proving that functor composition is associative.
 105
 106
 107
 108 Natural Transformation
 109 ----------------------
 110 So categories include elements and morphisms. Functors consist of mappings from the elements and morphisms of one category to those of another (or the same) category. **Natural transformations** are a third level of mappings, from one functor to another.
 111
 112 Where `G` and `H` are functors from category <b>C</b> to category <b>D</b>, a natural transformation &eta; between `G` and `H` is a family of morphisms <code>&eta;[C1]:G(C1)&rarr;H(C1)</code> in <b>D</b> for each element `C1` of <b>C</b>. That is, <code>&eta;[C1]</code> has as source `C1`'s image under `G` in <b>D</b>, and as target `C1`'s image under `H` in <b>D</b>. The morphisms in this family must also satisfy the constraint:
 113
 114 <pre>
 115         for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>:
 116         &eta;[C2] &#8728; G(f) = H(f) &#8728; &eta;[C1]
 117 </pre>
 118
 119 That is, the morphism via `G(f)` from `G(C1)` to `G(C2)`, and then via <code>&eta;[C2]</code> to `H(C2)`, is identical to the morphism from `G(C1)` via <code>&eta;[C1]</code> to `H(C1)`, and then via `H(f)` from `H(C1)` to `H(C2)`.
 120
 121
 122 How natural transformations compose:
 123
 124 Consider four categories <b>B</b>, <b>C</b>, <b>D</b>, and <b>E</b>. Let `F` be a functor from <b>B</b> to <b>C</b>; `G`, `H`, and `J` be functors from <b>C</b> to <b>D</b>; and `K` and `L` be functors from <b>D</b> to <b>E</b>. Let &eta; be a natural transformation from `G` to `H`; &phi; be a natural transformation from `H` to `J`; and &psi; be a natural transformation from `K` to `L`. Pictorally:
 125
 126 <pre>
 127         - <b>B</b> -+ +--- <b>C</b> --+ +---- <b>D</b> -----+ +-- <b>E</b> --
 128                  | |        | |            | |
 129          F: ------> G: ------>     K: ------>
 130                  | |        | |  | &eta;       | |  | &psi;
 131                  | |        | |  v         | |  v
 132                  | |    H: ------>     L: ------>
 133                  | |        | |  | &phi;       | |
 134                  | |        | |  v         | |
 135                  | |    J: ------>         | |
 136         -----+ +--------+ +------------+ +-------
 137 </pre>
 138
 139 Then <code>(&eta; F)</code> is a natural transformation from the (composite) functor `GF` to the composite functor `HF`, such that where `B1` is an element of category <b>B</b>, <code>(&eta; F)[B1] = &eta;[F(B1)]</code>---that is, the morphism in <b>D</b> that <code>&eta;</code> assigns to the element `F(B1)` of <b>C</b>.
 140
 141 And <code>(K &eta;)</code> is a natural transformation from the (composite) functor `KG` to the (composite) functor `KH`, such that where `C1` is an element of category <b>C</b>, <code>(K &eta;)[C1] = K(&eta;[C1])</code>---that is, the morphism in <b>E</b> that `K` assigns to the morphism <code>&eta;[C1]</code> of <b>D</b>.
 142
 143
 144 <code>(&phi; -v- &eta;)</code> is a natural transformation from `G` to `J`; this is known as a "vertical composition". For any morphism <code>f:C1&rarr;C2</code> in <b>C</b>:
 145
 146 <pre>
 147         &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1] = &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1]
 148 </pre>
 149
 150 by naturalness of <code>&phi;</code>, is:
 151
 152 <pre>
 153         &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1] = J(f) &#8728; &phi;[C1] &#8728; &eta;[C1]
 154 </pre>
 155
 156 by naturalness of <code>&eta;</code>, is:
 157
 158 <pre>
 159         &phi;[C2] &#8728; &eta;[C2] &#8728; G(f) = J(f) &#8728; &phi;[C1] &#8728; &eta;[C1]
 160 </pre>
 161
 162 Hence, we can define <code>(&phi; -v- &eta;)[\_]</code> as: <code>&phi;[\_] &#8728; &eta;[\_]</code> and rely on it to satisfy the constraints for a natural transformation from `G` to `J`:
 163
 164 <pre>
 165         (&phi; -v- &eta;)[C2] &#8728; G(f) = J(f) &#8728; (&phi; -v- &eta;)[C1]
 166 </pre>
 167
 168 An observation we'll rely on later: given the definitions of vertical composition and of how natural transformations compose with functors, it follows that:
 169
 170 <pre>
 171         ((&phi; -v- &eta;) F) = ((&phi; F) -v- (&eta; F))
 172 </pre>
 173
 174 I'll assert without proving that vertical composition is associative and has an identity, which we'll call "the identity transformation."
 175
 176
 177 <code>(&psi; -h- &eta;)</code> is natural transformation from the (composite) functor `KG` to the (composite) functor `LH`; this is known as a "horizontal composition." It's trickier to define, but we won't be using it here. For reference:
 178
 179 <pre>
 180         (&phi; -h- &eta;)[C1]  =  L(&eta;[C1]) &#8728; &psi;[G(C1)]
 181                                    =  &psi;[H(C1)] &#8728; K(&eta;[C1])
 182 </pre>
 183
 184 Horizontal composition is also associative, and has the same identity as vertical composition.
 185
 186
 187
 188 Monads
 189 ------
 190 In earlier days, these were also called "triples."
 191
 192 A **monad** is a structure consisting of an (endo)functor `M` from some category <b>C</b> to itself, along with some natural transformations, which we'll specify in a moment.
 193
 194 Let `T` be a set of natural transformations <code>&phi;</code>, each being between some arbitrary endofunctor `F` on <b>C</b> and another functor which is the composite `MF'` of `M` and another arbitrary endofunctor `F'` on <b>C</b>. That is, for each element `C1` in <b>C</b>, <code>&phi;</code> assigns `C1` a morphism from element `F(C1)` to element `MF'(C1)`, satisfying the constraints detailed in the previous section. For different members of `T`, the relevant functors may differ; that is, <code>&phi;</code> is a transformation from functor `F` to `MF'`, <code>&gamma;</code> is a transformation from functor `G` to `MG'`, and none of `F`, `F'`, `G`, `G'` need be the same.
 195
 196 One of the members of `T` will be designated the `unit` transformation for `M`, and it will be a transformation from the identity functor `1C` for <b>C</b> to `M(1C)`. So it will assign to `C1` a morphism from `C1` to `M(C1)`.
 197
 198 We also need to designate for `M` a `join` transformation, which is a natural transformation from the (composite) functor `MM` to `M`.
 199
 200 These two natural transformations have to satisfy some constraints ("the monad laws") which are most easily stated if we can introduce a defined notion.
 201
 202 Let <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> be members of `T`, that is they are natural transformations from `F` to `MF'` and from `G` to `MG'`, respectively. Let them be such that `F' = G`. Now <code>(M &gamma;)</code> will also be a natural transformation, formed by composing the functor `M` with the natural transformation <code>&gamma;</code>. Similarly, `(join G')` will be a natural transformation, formed by composing the natural transformation `join` with the functor `G'`; it will transform the functor `MMG'` to the functor `MG'`. Now take the vertical composition of the three natural transformations `(join G')`, <code>(M &gamma;)</code>, and <code>&phi;</code>, and abbreviate it as follows. Since composition is associative I don't specify the order of composition on the rhs.
 203
 204 <pre>
 205         &gamma; <=< &phi;  =def.  ((join G') -v- (M &gamma;) -v- &phi;)
 206 </pre>
 207
 208 In other words, `<=<` is a binary operator that takes us from two members <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> of `T` to a composite natural transformation. (In functional programming, at least, this is called the "Kleisli composition operator". Sometimes it's written <code>&phi; >=> &gamma;</code> where that's the same as <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code>.)
 209
 210 <code>&phi;</code> is a transformation from `F` to `MF'`, where the latter = `MG`; <code>(M &gamma;)</code> is a transformation from `MG` to `MMG'`; and `(join G')` is a transformation from `MMG'` to `MG'`. So the composite <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> will be a transformation from `F` to `MG'`, and so also eligible to be a member of `T`.
 211
 212 Now we can specify the "monad laws" governing a monad as follows:
 213
 214 <pre>
 215         (T, <=<, unit) constitute a monoid
 216 </pre>
 217
 218 That's it. Well, there may be a wrinkle here. I don't know whether the definition of a monoid requires the operation to be defined for every pair in its set. In the present case, <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> isn't fully defined on `T`, but only when <code>&phi;</code> is a transformation to some `MF'` and <code>&gamma;</code> is a transformation from `F'`. But wherever `<=<` is defined, the monoid laws must hold:
 219
 220 <pre>
 221             (i) &gamma; <=< &phi; is also in T
 222
 223            (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 224
 225         (iii.1) unit <=< &phi;  =  &phi;
 226                 (here &phi; has to be a natural transformation to M(1C))
 227
 228         (iii.2)                &rho;  =  &rho; <=< unit
 229                 (here &rho; has to be a natural transformation from 1C)
 230 </pre>
 231
 232 If <code>&phi;</code> is a natural transformation from `F` to `M(1C)` and <code>&gamma;</code> is <code>(&phi; G')</code>, that is, a natural transformation from `FG'` to `MG'`, then we can extend (iii.1) as follows:
 233
 234 <pre>
 235         &gamma; = (&phi; G')
 236           = ((unit <=< &phi;) G')
 237           since unit is a natural transformation to M(1C), this is:
 238           = (((join 1C) -v- (M unit) -v- &phi;) G')
 239           = (((join 1C) G') -v- ((M unit) G') -v- (&phi; G'))
 240           = ((join (1C G')) -v- (M (unit G')) -v- &gamma;)
 241           = ((join G') -v- (M (unit G')) -v- &gamma;)
 242           since (unit G') is a natural transformation to MG', this is:
 243           = (unit G') <=< &gamma;
 244 </pre>
 245
 246 where as we said <code>&gamma;</code> is a natural transformation from some `FG'` to `MG'`.
 247
 248 Similarly, if <code>&rho;</code> is a natural transformation from `1C` to `MR'`, and <code>&gamma;</code> is <code>(&rho; G)</code>, that is, a natural transformation from `G` to `MR'G`, then we can extend (iii.2) as follows:
 249
 250 <pre>
 251         &gamma; = (&rho; G)
 252           = ((&rho; <=< unit) G)
 253           = since &rho; is a natural transformation to MR', this is:
 254           = (((join R') -v- (M &rho;) -v- unit) G)
 255           = (((join R') G) -v- ((M &rho;) G) -v- (unit G))
 256           = ((join (R'G)) -v- (M (&rho; G)) -v- (unit G))
 257           since &gamma; = (&rho; G) is a natural transformation to MR'G, this is:
 258           = &gamma; <=< (unit G)
 259 </pre>
 260
 261 where as we said <code>&gamma;</code> is a natural transformation from `G` to some `MR'G`.
 262
 263 Summarizing then, the monad laws can be expressed as:
 264
 265 <pre>
 266         For all &rho;, &gamma;, &phi; in T for which &rho; <=< &gamma; and &gamma; <=< &phi; are defined:
 267
 268             (i) &gamma; <=< &phi; etc are also in T
 269
 270            (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 271
 272         (iii.1) (unit G') <=< &gamma;  =  &gamma;
 273                 whenever &gamma; is a natural transformation from some FG' to MG'
 274
 275         (iii.2)                     &gamma;  =  &gamma; <=< (unit G)
 276                 whenever &gamma; is a natural transformation from G to some MR'G
 277 </pre>
 278
 279
 280
 281 Getting to the standard category-theory presentation of the monad laws
 282 ----------------------------------------------------------------------
 283 In category theory, the monad laws are usually stated in terms of `unit` and `join` instead of `unit` and `<=<`.
 284
 285 <!--
 286         P2. every element C1 of a category <b>C</b> has an identity morphism 1<sub>C1</sub> such that for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>: 1<sub>C2</sub> &#8728; f = f = f &#8728; 1<sub>C1</sub>.
 287         P3. functors "preserve identity", that is for every element C1 in F's source category: F(1<sub>C1</sub>) = 1<sub>F(C1)</sub>.
 288 -->
 289
 290 Let's remind ourselves of principles stated above:
 291
 292 *       composition of morphisms, functors, and natural compositions is associative
 293
 294 *       functors "distribute over composition", that is for any morphisms `f` and `g` in `F`'s source category: <code>F(g &#8728; f) = F(g) &#8728; F(f)</code>
 295
 296 *       if <code>&eta;</code> is a natural transformation from `G` to `H`, then for every <code>f:C1&rarr;C2</code> in `G` and `H`'s source category <b>C</b>: <code>&eta;[C2] &#8728; G(f) = H(f) &#8728; &eta;[C1]</code>.
 297
 298 *       <code>(&eta; F)[X] = &eta;[F(X)]</code>
 299
 300 *       <code>(K &eta;)[X] = K(&eta;[X])</code>
 301
 302 *       <code>((&phi; -v- &eta;) F) = ((&phi; F) -v- (&eta; F))</code>
 303
 304 Let's use the definitions of naturalness, and of composition of natural transformations, to establish two lemmas.
 305
 306
 307 Recall that `join` is a natural transformation from the (composite) functor `MM` to `M`. So for elements `C1` in <b>C</b>, `join[C1]` will be a morphism from `MM(C1)` to `M(C1)`. And for any morphism <code>f:C1&rarr;C2</code> in <b>C</b>:
 308
 309 <pre>
 310         (1) join[C2] &#8728; MM(f)  =  M(f) &#8728; join[C1]
 311 </pre>
 312
 313 Next, let <code>&gamma;</code> be a transformation from `G` to `MG'`, and
 314  consider the composite transformation <code>((join MG') -v- (MM &gamma;))</code>.
 315
 316 *       <code>&gamma;</code> assigns elements `C1` in <b>C</b> a morphism <code>&gamma;\*:G(C1) &rarr; MG'(C1)</code>. <code>(MM &gamma;)</code> is a transformation that instead assigns `C1` the morphism <code>MM(&gamma;\*)</code>.
 317
 318 *       `(join MG')` is a transformation from `MM(MG')` to `M(MG')` that assigns `C1` the morphism `join[MG'(C1)]`.
 319
 320 Composing them:
 321
 322 <pre>
 323         (2) ((join MG') -v- (MM &gamma;)) assigns to C1 the morphism join[MG'(C1)] &#8728; MM(&gamma;*).
 324 </pre>
 325
 326 Next, consider the composite transformation <code>((M &gamma;) -v- (join G))</code>:
 327
 328 <pre>
 329         (3) ((M &gamma;) -v- (join G)) assigns to C1 the morphism M(&gamma;*) &#8728; join[G(C1)].
 330 </pre>
 331
 332 So for every element `C1` of <b>C</b>:
 333
 334 <pre>
 335         ((join MG') -v- (MM &gamma;))[C1], by (2) is:
 336         join[MG'(C1)] &#8728; MM(&gamma;*), which by (1), with f=&gamma;*:G(C1)&rarr;MG'(C1) is:
 337         M(&gamma;*) &#8728; join[G(C1)], which by 3 is:
 338         ((M &gamma;) -v- (join G))[C1]
 339 </pre>
 340
 341 So our **(lemma 1)** is:
 342
 343 <pre>
 344         ((join MG') -v- (MM &gamma;))  =  ((M &gamma;) -v- (join G)),
 345         where as we said &gamma; is a natural transformation from G to MG'.
 346 </pre>
 347
 348
 349 Next recall that `unit` is a natural transformation from `1C` to `M`. So for elements `C1` in <b>C</b>, `unit[C1]` will be a morphism from `C1` to `M(C1)`. And for any morphism <code>f:C1&rarr;C2</code> in <b>C</b>:
 350
 351 <pre>
 352         (4) unit[C2] &#8728; f = M(f) &#8728; unit[C1]
 353 </pre>
 354
 355 Next, consider the composite transformation <code>((M &gamma;) -v- (unit G))</code>:
 356
 357 <pre>
 358         (5) ((M &gamma;) -v- (unit G)) assigns to C1 the morphism M(&gamma;*) &#8728; unit[G(C1)].
 359 </pre>
 360
 361 Next, consider the composite transformation <code>((unit MG') -v- &gamma;)</code>:
 362
 363 <pre>
 364         (6) ((unit MG') -v- &gamma;) assigns to C1 the morphism unit[MG'(C1)] &#8728; &gamma;*.
 365 </pre>
 366
 367 So for every element C1 of <b>C</b>:
 368
 369 <pre>
 370         ((M &gamma;) -v- (unit G))[C1], by (5) =
 371         M(&gamma;*) &#8728; unit[G(C1)], which by (4), with f=&gamma;*:G(C1)&rarr;MG'(C1) is:
 372         unit[MG'(C1)] &#8728; &gamma;*, which by (6) =
 373         ((unit MG') -v- &gamma;)[C1]
 374 </pre>
 375
 376 So our **(lemma 2)** is:
 377
 378 <pre>
 379         (((M &gamma;) -v- (unit G))  =  ((unit MG') -v- &gamma;)),
 380         where as we said &gamma; is a natural transformation from G to MG'.
 381 </pre>
 382
 383
 384 Finally, we substitute <code>((join G') -v- (M &gamma;) -v- &phi;)</code> for <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> in the monad laws. For simplicity, I'll omit the "-v-".
 385
 386 <pre>
 387         For all &rho;, &gamma;, &phi; in T,
 388         where &phi; is a transformation from F to MF',
 389         &gamma; is a transformation from G to MG',
 390         &rho; is a transformation from R to MR',
 391         and F'=G and G'=R:
 392
 393              (i) &gamma; <=< &phi; etc are also in T
 394         ==>
 395             (i') ((join G') (M &gamma;) &phi;) etc are also in T
 396 </pre>
 397
 398 <pre>
 399             (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 400         ==>
 401                      (&rho; <=< &gamma;) is a transformation from G to MR', so
 402                          (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi; becomes: ((join R') (M (&rho; <=< &gamma;)) &phi;)
 403                                                         which is: ((join R') (M ((join R') (M &rho;) &gamma;)) &phi;)
 404
 405                          similarly, &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;) is:
 406                                                         ((join R') (M &rho;) ((join G') (M &gamma;) &phi;))
 407
 408                          substituting these into (ii), and helping ourselves to associativity on the rhs, we get:
 409                  ((join R') (M ((join R') (M &rho;) &gamma;)) &phi;) = ((join R') (M &rho;) (join G') (M &gamma;) &phi;)
 410
 411                          which by the distributivity of functors over composition, and helping ourselves to associativity on the lhs, yields:
 412                  ((join R') (M join R') (MM &rho;) (M &gamma;) &phi;) = ((join R') (M &rho;) (join G') (M &gamma;) &phi;)
 413
 414                          which by lemma 1, with &rho; a transformation from G' to MR', yields:
 415                  ((join R') (M join R') (MM &rho;) (M &gamma;) &phi;) = ((join R') (join MR') (MM &rho;) (M &gamma;) &phi;)
 416
 417                          [-- Are the next two steps too cavalier? --]
 418
 419                          which will be true for all &rho;, &gamma;, &phi; only when:
 420                  ((join R') (M join R')) = ((join R') (join MR')), for any R'
 421
 422                          which will in turn be true when:
 423        (ii') (join (M join)) = (join (join M))
 424 </pre>
 425
 426 <pre>
 427          (iii.1) (unit G') <=< &gamma;  =  &gamma;
 428                  when &gamma; is a natural transformation from some FG' to MG'
 429         ==>
 430                          (unit G') is a transformation from G' to MG', so:
 431                          (unit G') <=< &gamma; becomes: ((join G') (M (unit G')) &gamma;)
 432                                               which is: ((join G') ((M unit) G') &gamma;)
 433
 434                          substituting in (iii.1), we get:
 435                          ((join G') ((M unit) G') &gamma;) = &gamma;
 436
 437                          which is:
 438                          (((join (M unit)) G') &gamma;) = &gamma;
 439
 440                          [-- Are the next two steps too cavalier? --]
 441
 442                          which will be true for all &gamma; just in case:
 443                          for any G', ((join (M unit)) G') = the identity transformation
 444
 445                          which will in turn be true just in case:
 446         (iii.1') (join (M unit)) = the identity transformation
 447 </pre>
 448
 449 <pre>
 450          (iii.2) &gamma;  =  &gamma; <=< (unit G)
 451                  when &gamma; is a natural transformation from G to some MR'G
 452         ==>
 453                          &gamma; <=< (unit G) becomes: ((join R'G) (M &gamma;) (unit G))
 454
 455                          substituting in (iii.2), we get:
 456                          &gamma; = ((join R'G) (M &gamma;) (unit G))
 457
 458                          which by lemma 2, yields:
 459                          &gamma; = (((join R'G) ((unit MR'G) &gamma;)
 460
 461                          which is:
 462                          &gamma; = (((join (unit M)) R'G) &gamma;)
 463
 464                          [-- Are the next two steps too cavalier? --]
 465
 466                           which will be true for all &gamma; just in case:
 467                          for any R'G, ((join (unit M)) R'G) = the identity transformation
 468
 469                          which will in turn be true just in case:
 470         (iii.2') (join (unit M)) = the identity transformation
 471 </pre>
 472
 473
 474 Collecting the results, our monad laws turn out in this format to be:
 475
 476 <pre>
 477         For all &rho;, &gamma;, &phi; in T,
 478         where &phi; is a transformation from F to MF',
 479         &gamma; is a transformation from G to MG',
 480         &rho; is a transformation from R to MR',
 481         and F'=G and G'=R:
 482
 483             (i') ((join G') (M &gamma;) &phi;) etc also in T
 484
 485            (ii') (join (M join)) = (join (join M))
 486
 487         (iii.1') (join (M unit)) = the identity transformation
 488
 489         (iii.2') (join (unit M)) = the identity transformation
 490 </pre>
 491
 492
 493
 494 Getting to the functional programming presentation of the monad laws
 495 --------------------------------------------------------------------
 496 In functional programming, `unit` is sometimes called `return` and the monad laws are usually stated in terms of `unit`/`return` and an operation called `bind` which is interdefinable with `<=<` or with `join`.
 497
 498 The base category <b>C</b> will have types as elements, and monadic functions as its morphisms. The source and target of a morphism will be the types of its argument and its result. (As always, there can be multiple distinct morphisms from the same source to the same target.)
 499
 500 A monad `M` will consist of a mapping from types `'t` to types `M('t)`, and a mapping from functions <code>f:C1&rarr;C2</code> to functions <code>M(f):M(C1)&rarr;M(C2)</code>. This is also known as <code>lift<sub>M</sub> f</code> for `M`, and is pronounced "function f lifted into the monad M." For example, where `M` is the list monad, `M` maps every type `'t` into the type `'t list`, and maps every function <code>f:x&rarr;y</code> into the function that maps `[x1,x2...]` to `[y1,y2,...]`.
 501
 502
 503 In functional programming, instead of working with natural transformations we work with "monadic values" and polymorphic functions "into the monad."
 504
 505 A "monadic value" is any member of a type `M('t)`, for any type `'t`. For example, any `int list` is a monadic value for the list monad. We can think of these monadic values as the result of applying some function `phi`, whose type is `F('t)->M(F'('t))`. `'t` here is any collection of free type variables, and `F('t)` and `F'('t)` are types parameterized on `'t`. An example, with `M` being the list monad, `'t` being `('t1,'t2)`, `F('t1,'t2)` being `char * 't1 * 't2`, and `F'('t1,'t2)` being `int * 't1 * 't2`:
 506
 507 <pre>
 508         let phi = fun ((_:char, x y) -> [(1,x,y),(2,x,y)]
 509 </pre>
 510
 511
 512
 513 Now where `gamma` is another function of type <code>F'('t) &rarr; M(G'('t))</code>, we define:
 514
 515 <pre>
 516         gamma =<< phi a  =def. ((join G') -v- (M gamma)) (phi a)
 517                          = ((join G') -v- (M gamma) -v- phi) a
 518                                          = (gamma <=< phi) a
 519 </pre>
 520
 521 Hence:
 522
 523 <pre>
 524         gamma <=< phi = fun a -> (gamma =<< phi a)
 525 </pre>
 526
 527 `gamma =<< phi a` is called the operation of "binding" the function gamma to the monadic value `phi a`, and is usually written as `phi a >>= gamma`.
 528
 529 With these definitions, our monadic laws become:
 530
 531
 532 <pre>
 533         Where phi is a polymorphic function of type F('t) -> M(F'('t))
 534         gamma is a polymorphic function of type G('t) -> M(G'('t))
 535         rho is a polymorphic function of type R('t) -> M(R'('t))
 536         and F' = G and G' = R,
 537         and a ranges over values of type F('t),
 538         b ranges over values of type G('t),
 539         and c ranges over values of type G'('t):
 540
 541               (i) &gamma; <=< &phi; is defined,
 542                           and is a natural transformation from F to MG'
 543         ==>
 544                 (i'') fun a -> gamma =<< phi a is defined,
 545                           and is a function from type F('t) -> M(G'('t))
 546 </pre>
 547
 548 <pre>
 549              (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 550         ==>
 551                           (fun a -> (rho <=< gamma) =<< phi a)  =  (fun a -> rho =<< (gamma <=< phi) a)
 552                           (fun a -> (fun b -> rho =<< gamma b) =<< phi a)  =  (fun a -> rho =<< (gamma =<< phi a))
 553
 554            (ii'') (fun b -> rho =<< gamma b) =<< phi a  =  rho =<< (gamma =<< phi a)
 555 </pre>
 556
 557 <pre>
 558           (iii.1) (unit G') <=< &gamma;  =  &gamma;
 559                   when &gamma; is a natural transformation from some FG' to MG'
 560         ==>
 561                           (unit G') <=< gamma  =  gamma
 562                           when gamma is a function of type F(G'('t)) -> M(G'('t))
 563
 564                           fun b -> (unit G') =<< gamma b  =  gamma
 565
 566                           (unit G') =<< gamma b  =  gamma b
 567
 568                           Let return be a polymorphic function mapping arguments of any
 569                           type 't to M('t). In particular, it maps arguments c of type
 570                           G'('t) to the monadic value (unit G') c, of type M(G'('t)).
 571
 572         (iii.1'') return =<< gamma b  =  gamma b
 573 </pre>
 574
 575 <pre>
 576           (iii.2) &gamma;  =  &gamma; <=< (unit G)
 577                   when &gamma; is a natural transformation from G to some MR'G
 578         ==>
 579                           gamma  =  gamma <=< (unit G)
 580                           when gamma is a function of type G('t) -> M(R'(G('t)))
 581
 582                           gamma  =  fun b -> gamma =<< (unit G) b
 583
 584                           As above, return will map arguments b of type G('t) to the
 585                           monadic value (unit G) b, of type M(G('t)).
 586
 587                           gamma  =  fun b -> gamma =<< return b
 588
 589         (iii.2'') gamma b  =  gamma =<< return b
 590 </pre>
 591
 592 Summarizing (ii''), (iii.1''), (iii.2''), these are the monadic laws as usually stated in the functional programming literature:
 593
 594 *       `fun b -> rho =<< gamma b) =<< phi a  =  rho =<< (gamma =<< phi a)`
 595
 596         Usually written reversed, and with a monadic variable `u` standing in
 597         for `phi a`:
 598
 599         `u >>= (fun b -> gamma b >>= rho)  =  (u >>= gamma) >>= rho`
 600
 601 *       `return =<< gamma b  =  gamma b`
 602
 603         Usually written reversed, and with `u` standing in for `gamma b`:
 604
 605         `u >>= return  =  u`
 606
 607 *       `gamma b  =  gamma =<< return b`
 608
 609         Usually written reversed:
 610
 611         `return b >>= gamma  =  gamma b`
 612
 613