advanced_topics/monads_in_category_theory.mdwn

   1 Caveats
   2 -------
   3 I really don't know much category theory. Just enough to put this
   4 together. Also, this really is "put together." I haven't yet found an
   5 authoritative source (that's accessible to a category theory beginner like
   6 myself) that discusses the correspondence between the category-theoretic and
   7 functional programming uses of these notions in enough detail to be sure that
   8 none of the pieces here is mistaken.
   9 In particular, it wasn't completely obvious how to map the polymorphism on the
  10 programming theory side into the category theory. The way I accomplished this
  11 may be more complex than it needs to be.
  12 Also I'm bothered by the fact that our `<=<` operation is only partly defined
  13 on our domain of natural transformations.
  14 There are three additional points below that I wonder whether may be too
  15 cavalier.
  16 But all considered, this does seem to
  17 me to be a reasonable way to put the pieces together. We very much welcome
  18 feedback from anyone who understands these issues better, and will make
  19 corrections.
  20
  21
  22 Monoids
  23 -------
  24 A **monoid** is a structure <code>(S,&#8902;,z)</code> consisting of an associative binary operation <code>&#8902;</code> over some set `S`, which is closed under <code>&#8902;</code>, and which contains an identity element `z` for <code>&#8902;</code>. That is:
  25
  26
  27 <pre>
  28         for all s1, s2, s3 in S:
  29           (i) s1&#8902;s2 etc are also in S
  30          (ii) (s1&#8902;s2)&#8902;s3 = s1&#8902;(s2&#8902;s3)
  31         (iii) z&#8902;s1 = s1 = s1&#8902;z
  32 </pre>
  33
  34 Some examples of monoids are:
  35
  36 *       finite strings of an alphabet `A`, with <code>&#8902;</code> being concatenation and `z` being the empty string
  37 *       all functions <code>X&rarr;X</code> over a set `X`, with <code>&#8902;</code> being composition and `z` being the identity function over `X`
  38 *       the natural numbers with <code>&#8902;</code> being plus and `z` being 0 (in particular, this is a **commutative monoid**). If we use the integers, or the naturals mod n, instead of the naturals, then every element will have an inverse and so we have not merely a monoid but a **group**.
  39 *       if we let <code>&#8902;</code> be multiplication and `z` be 1, we get different monoids over the same sets as in the previous item.
  40
  41 Categories
  42 ----------
  43 A **category** is a generalization of a monoid. A category consists of a class of **elements**, and a class of **morphisms** between those elements. Morphisms are sometimes also called maps or arrows. They are something like functions (and as we'll see below, given a set of functions they'll determine a category). However, a single morphism only maps between a single source element and a single target element. Also, there can be multiple distinct morphisms between the same source and target, so the identity of a morphism goes beyond its "extension."
  44
  45 When a morphism `f` in category <b>C</b> has source `C1` and target `C2`, we'll write <code>f:C1&rarr;C2</code>.
  46
  47 To have a category, the elements and morphisms have to satisfy some constraints:
  48
  49 <pre>
  50           (i) the class of morphisms has to be closed under composition:
  51               where f:C1&rarr;C2 and g:C2&rarr;C3, g &#8728; f is also a
  52               morphism of the category, which maps C1&rarr;C3.
  53
  54          (ii) composition of morphisms has to be associative
  55
  56         (iii) every element X of the category has to have an identity
  57               morphism 1<sub>X</sub>, which is such that for every morphism f:C1&rarr;C2:
  58               1<sub>C2</sub> &#8728; f = f = f &#8728; 1<sub>C1</sub>
  59 </pre>
  60
  61 These parallel the constraints for monoids. Note that there can be multiple distinct morphisms between an element `X` and itself; they need not all be identity morphisms. Indeed from (iii) it follows that each element can have only a single identity morphism.
  62
  63 A good intuitive picture of a category is as a generalized directed graph, where the category elements are the graph's nodes, and there can be multiple directed edges between a given pair of nodes, and nodes can also have multiple directed edges to themselves. Morphisms correspond to directed paths of length &ge; 0 in the graph.
  64
  65
  66 Some examples of categories are:
  67
  68 *       Categories whose elements are sets and whose morphisms are functions between those sets. Here the source and target of a function are its domain and range, so distinct functions sharing a domain and range (e.g., `sin` and `cos`) are distinct morphisms between the same source and target elements. The identity morphism for any element/set is just the identity function for that set.
  69
  70 *       any monoid <code>(S,&#8902;,z)</code> generates a category with a single element `Q`; this `Q` need not have any relation to `S`. The members of `S` play the role of *morphisms* of this category, rather than its elements. All of these morphisms are understood to map `Q` to itself. The result of composing the morphism consisting of `s1` with the morphism `s2` is the morphism `s3`, where <code>s3=s1&#8902;s2</code>. The identity morphism for the (single) category element `Q` is the monoid's identity `z`.
  71
  72 *       a **preorder** is a structure <code>(S, &le;)</code> consisting of a reflexive, transitive, binary relation on a set `S`. It need not be connected (that is, there may be members `s1`,`s2` of `S` such that neither <code>s1 &le; s2</code> nor <code>s2 &le; s1</code>). It need not be anti-symmetric (that is, there may be members `s1`,`s2` of `S` such that <code>s1 &le; s2</code> and <code>s2 &le; s1</code> but `s1` and `s2` are not identical). Some examples:
  73
  74         *       sentences ordered by logical implication ("p and p" implies and is implied by "p", but these sentences are not identical; so this illustrates a pre-order without anti-symmetry)
  75         *       sets ordered by size (this illustrates it too)
  76
  77         Any pre-order <code>(S,&le;)</code> generates a category whose elements are the members of `S` and which has only a single morphism between any two elements `s1` and `s2`, iff <code>s1 &le; s2</code>.
  78
  79
  80 Functors
  81 --------
  82 A **functor** is a "homomorphism", that is, a structure-preserving mapping, between categories. In particular, a functor `F` from category <b>C</b> to category <b>D</b> must:
  83
  84 <pre>
  85           (i) associate with every element C1 of <b>C</b> an element F(C1) of <b>D</b>
  86
  87          (ii) associate with every morphism f:C1&rarr;C2 of <b>C</b> a morphism F(f):F(C1)&rarr;F(C2) of <b>D</b>
  88
  89         (iii) "preserve identity", that is, for every element C1 of <b>C</b>:
  90               F of C1's identity morphism in <b>C</b> must be the identity morphism of F(C1) in <b>D</b>:
  91               F(1<sub>C1</sub>) = 1<sub>F(C1)</sub>.
  92
  93          (iv) "distribute over composition", that is for any morphisms f and g in <b>C</b>:
  94               F(g &#8728; f) = F(g) &#8728; F(f)
  95 </pre>
  96
  97 A functor that maps a category to itself is called an **endofunctor**. The (endo)functor that maps every element and morphism of <b>C</b> to itself is denoted `1C`.
  98
  99 How functors compose: If `G` is a functor from category <b>C</b> to category <b>D</b>, and `K` is a functor from category <b>D</b> to category <b>E</b>, then `KG` is a functor which maps every element `C1` of <b>C</b> to element `K(G(C1))` of <b>E</b>, and maps every morphism `f` of <b>C</b> to morphism `K(G(f))` of <b>E</b>.
 100
 101 I'll assert without proving that functor composition is associative.
 102
 103
 104
 105 Natural Transformation
 106 ----------------------
 107 So categories include elements and morphisms. Functors consist of mappings from the elements and morphisms of one category to those of another (or the same) category. **Natural transformations** are a third level of mappings, from one functor to another.
 108
 109 Where `G` and `H` are functors from category <b>C</b> to category <b>D</b>, a natural transformation &eta; between `G` and `H` is a family of morphisms <code>&eta;[C1]:G(C1)&rarr;H(C1)</code> in <b>D</b> for each element `C1` of <b>C</b>. That is, <code>&eta;[C1]</code> has as source `C1`'s image under `G` in <b>D</b>, and as target `C1`'s image under `H` in <b>D</b>. The morphisms in this family must also satisfy the constraint:
 110
 111 <pre>
 112         for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>:
 113         &eta;[C2] &#8728; G(f) = H(f) &#8728; &eta;[C1]
 114 </pre>
 115
 116 That is, the morphism via `G(f)` from `G(C1)` to `G(C2)`, and then via <code>&eta;[C2]</code> to `H(C2)`, is identical to the morphism from `G(C1)` via <code>&eta;[C1]</code> to `H(C1)`, and then via `H(f)` from `H(C1)` to `H(C2)`.
 117
 118
 119 How natural transformations compose:
 120
 121 Consider four categories <b>B</b>, <b>C</b>, <b>D</b>, and <b>E</b>. Let `F` be a functor from <b>B</b> to <b>C</b>; `G`, `H`, and `J` be functors from <b>C</b> to <b>D</b>; and `K` and `L` be functors from <b>D</b> to <b>E</b>. Let &eta; be a natural transformation from `G` to `H`; &phi; be a natural transformation from `H` to `J`; and &psi; be a natural transformation from `K` to `L`. Pictorally:
 122
 123 <pre>
 124         - <b>B</b> -+ +--- <b>C</b> --+ +---- <b>D</b> -----+ +-- <b>E</b> --
 125                  | |        | |            | |
 126          F: ------> G: ------>     K: ------>
 127                  | |        | |  | &eta;       | |  | &psi;
 128                  | |        | |  v         | |  v
 129                  | |    H: ------>     L: ------>
 130                  | |        | |  | &phi;       | |
 131                  | |        | |  v         | |
 132                  | |    J: ------>         | |
 133         -----+ +--------+ +------------+ +-------
 134 </pre>
 135
 136 Then <code>(&eta; F)</code> is a natural transformation from the (composite) functor `GF` to the composite functor `HF`, such that where `B1` is an element of category <b>B</b>, <code>(&eta; F)[B1] = &eta;[F(B1)]</code>---that is, the morphism in <b>D</b> that <code>&eta;</code> assigns to the element `F(B1)` of <b>C</b>.
 137
 138 And <code>(K &eta;)</code> is a natural transformation from the (composite) functor `KG` to the (composite) functor `KH`, such that where `C1` is an element of category <b>C</b>, <code>(K &eta;)[C1] = K(&eta;[C1])</code>---that is, the morphism in <b>E</b> that `K` assigns to the morphism <code>&eta;[C1]</code> of <b>D</b>.
 139
 140
 141 <code>(&phi; -v- &eta;)</code> is a natural transformation from `G` to `J`; this is known as a "vertical composition". For any morphism <code>f:C1&rarr;C2</code> in <b>C</b>:
 142
 143 <pre>
 144         &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1] = &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1]
 145 </pre>
 146
 147 by naturalness of <code>&phi;</code>, is:
 148
 149 <pre>
 150         &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1] = J(f) &#8728; &phi;[C1] &#8728; &eta;[C1]
 151 </pre>
 152
 153 by naturalness of <code>&eta;</code>, is:
 154
 155 <pre>
 156         &phi;[C2] &#8728; &eta;[C2] &#8728; G(f) = J(f) &#8728; &phi;[C1] &#8728; &eta;[C1]
 157 </pre>
 158
 159 Hence, we can define <code>(&phi; -v- &eta;)[\_]</code> as: <code>&phi;[\_] &#8728; &eta;[\_]</code> and rely on it to satisfy the constraints for a natural transformation from `G` to `J`:
 160
 161 <pre>
 162         (&phi; -v- &eta;)[C2] &#8728; G(f) = J(f) &#8728; (&phi; -v- &eta;)[C1]
 163 </pre>
 164
 165 An observation we'll rely on later: given the definitions of vertical composition and of how natural transformations compose with functors, it follows that:
 166
 167 <pre>
 168         ((&phi; -v- &eta;) F) = ((&phi; F) -v- (&eta; F))
 169 </pre>
 170
 171 I'll assert without proving that vertical composition is associative and has an identity, which we'll call "the identity transformation."
 172
 173
 174 <code>(&psi; -h- &eta;)</code> is natural transformation from the (composite) functor `KG` to the (composite) functor `LH`; this is known as a "horizontal composition." It's trickier to define, but we won't be using it here. For reference:
 175
 176 <pre>
 177         (&phi; -h- &eta;)[C1]  =  L(&eta;[C1]) &#8728; &psi;[G(C1)]
 178                                    =  &psi;[H(C1)] &#8728; K(&eta;[C1])
 179 </pre>
 180
 181 Horizontal composition is also associative, and has the same identity as vertical composition.
 182
 183
 184
 185 Monads
 186 ------
 187 In earlier days, these were also called "triples."
 188
 189 A **monad** is a structure consisting of an (endo)functor `M` from some category <b>C</b> to itself, along with some natural transformations, which we'll specify in a moment.
 190
 191 Let `T` be a set of natural transformations <code>&phi;</code>, each being between some arbitrary endofunctor `F` on <b>C</b> and another functor which is the composite `MF'` of `M` and another arbitrary endofunctor `F'` on <b>C</b>. That is, for each element `C1` in <b>C</b>, <code>&phi;</code> assigns `C1` a morphism from element `F(C1)` to element `MF'(C1)`, satisfying the constraints detailed in the previous section. For different members of `T`, the relevant functors may differ; that is, <code>&phi;</code> is a transformation from functor `F` to `MF'`, <code>&gamma;</code> is a transformation from functor `G` to `MG'`, and none of `F`, `F'`, `G`, `G'` need be the same.
 192
 193 One of the members of `T` will be designated the `unit` transformation for `M`, and it will be a transformation from the identity functor `1C` for <b>C</b> to `M(1C)`. So it will assign to `C1` a morphism from `C1` to `M(C1)`.
 194
 195 We also need to designate for `M` a `join` transformation, which is a natural transformation from the (composite) functor `MM` to `M`.
 196
 197 These two natural transformations have to satisfy some constraints ("the monad laws") which are most easily stated if we can introduce a defined notion.
 198
 199 Let <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> be members of `T`, that is they are natural transformations from `F` to `MF'` and from `G` to `MG'`, respectively. Let them be such that `F' = G`. Now <code>(M &gamma;)</code> will also be a natural transformation, formed by composing the functor `M` with the natural transformation <code>&gamma;</code>. Similarly, `(join G')` will be a natural transformation, formed by composing the natural transformation `join` with the functor `G'`; it will transform the functor `MMG'` to the functor `MG'`. Now take the vertical composition of the three natural transformations `(join G')`, <code>(M &gamma;)</code>, and <code>&phi;</code>, and abbreviate it as follows. Since composition is associative I don't specify the order of composition on the rhs.
 200
 201 <pre>
 202         &gamma; <=< &phi;  =def.  ((join G') -v- (M &gamma;) -v- &phi;)
 203 </pre>
 204
 205 In other words, `<=<` is a binary operator that takes us from two members <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> of `T` to a composite natural transformation. (In functional programming, at least, this is called the "Kleisli composition operator". Sometimes it's written <code>&phi; >=> &gamma;</code> where that's the same as <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code>.)
 206
 207 <code>&phi;</code> is a transformation from `F` to `MF'`, where the latter = `MG`; <code>(M &gamma;)</code> is a transformation from `MG` to `MMG'`; and `(join G')` is a transformation from `MMG'` to `MG'`. So the composite <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> will be a transformation from `F` to `MG'`, and so also eligible to be a member of `T`.
 208
 209 Now we can specify the "monad laws" governing a monad as follows:
 210
 211 <pre>
 212         (T, <=<, unit) constitute a monoid
 213 </pre>
 214
 215 That's it. Well, there may be a wrinkle here. I don't know whether the definition of a monoid requires the operation to be defined for every pair in its set. In the present case, <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> isn't fully defined on `T`, but only when <code>&phi;</code> is a transformation to some `MF'` and <code>&gamma;</code> is a transformation from `F'`. But wherever `<=<` is defined, the monoid laws must hold:
 216
 217 <pre>
 218             (i) &gamma; <=< &phi; is also in T
 219
 220            (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 221
 222         (iii.1) unit <=< &phi;  =  &phi;
 223                 (here &phi; has to be a natural transformation to M(1C))
 224
 225         (iii.2)                &rho;  =  &rho; <=< unit
 226                 (here &rho; has to be a natural transformation from 1C)
 227 </pre>
 228
 229 If <code>&phi;</code> is a natural transformation from `F` to `M(1C)` and <code>&gamma;</code> is <code>(&phi; G')</code>, that is, a natural transformation from `FG'` to `MG'`, then we can extend (iii.1) as follows:
 230
 231 <pre>
 232         &gamma; = (&phi; G')
 233           = ((unit <=< &phi;) G')
 234           since unit is a natural transformation to M(1C), this is:
 235           = (((join 1C) -v- (M unit) -v- &phi;) G')
 236           = (((join 1C) G') -v- ((M unit) G') -v- (&phi; G'))
 237           = ((join (1C G')) -v- (M (unit G')) -v- &gamma;)
 238           = ((join G') -v- (M (unit G')) -v- &gamma;)
 239           since (unit G') is a natural transformation to MG', this is:
 240           = (unit G') <=< &gamma;
 241 </pre>
 242
 243 where as we said <code>&gamma;</code> is a natural transformation from some `FG'` to `MG'`.
 244
 245 Similarly, if <code>&rho;</code> is a natural transformation from `1C` to `MR'`, and <code>&gamma;</code> is <code>(&rho; G)</code>, that is, a natural transformation from `G` to `MR'G`, then we can extend (iii.2) as follows:
 246
 247 <pre>
 248         &gamma; = (&rho; G)
 249           = ((&rho; <=< unit) G)
 250           = since &rho; is a natural transformation to MR', this is:
 251           = (((join R') -v- (M &rho;) -v- unit) G)
 252           = (((join R') G) -v- ((M &rho;) G) -v- (unit G))
 253           = ((join (R'G)) -v- (M (&rho; G)) -v- (unit G))
 254           since &gamma; = (&rho; G) is a natural transformation to MR'G, this is:
 255           = &gamma; <=< (unit G)
 256 </pre>
 257
 258 where as we said <code>&gamma;</code> is a natural transformation from `G` to some `MR'G`.
 259
 260 Summarizing then, the monad laws can be expressed as:
 261
 262 <pre>
 263         For all &rho;, &gamma;, &phi; in T for which &rho; <=< &gamma; and &gamma; <=< &phi; are defined:
 264
 265             (i) &gamma; <=< &phi; etc are also in T
 266
 267            (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 268
 269         (iii.1) (unit G') <=< &gamma;  =  &gamma;
 270                 whenever &gamma; is a natural transformation from some FG' to MG'
 271
 272         (iii.2)                     &gamma;  =  &gamma; <=< (unit G)
 273                 whenever &gamma; is a natural transformation from G to some MR'G
 274 </pre>
 275
 276
 277
 278 Getting to the standard category-theory presentation of the monad laws
 279 ----------------------------------------------------------------------
 280 In category theory, the monad laws are usually stated in terms of `unit` and `join` instead of `unit` and `<=<`.
 281
 282 <!--
 283         P2. every element C1 of a category <b>C</b> has an identity morphism 1<sub>C1</sub> such that for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>: 1<sub>C2</sub> &#8728; f = f = f &#8728; 1<sub>C1</sub>.
 284         P3. functors "preserve identity", that is for every element C1 in F's source category: F(1<sub>C1</sub>) = 1<sub>F(C1)</sub>.
 285 -->
 286
 287 Let's remind ourselves of principles stated above:
 288
 289 *       composition of morphisms, functors, and natural compositions is associative
 290
 291 *       functors "distribute over composition", that is for any morphisms `f` and `g` in `F`'s source category: <code>F(g &#8728; f) = F(g) &#8728; F(f)</code>
 292
 293 *       if <code>&eta;</code> is a natural transformation from `G` to `H`, then for every <code>f:C1&rarr;C2</code> in `G` and `H`'s source category <b>C</b>: <code>&eta;[C2] &#8728; G(f) = H(f) &#8728; &eta;[C1]</code>.
 294
 295 *       <code>(&eta; F)[X] = &eta;[F(X)]</code>
 296
 297 *       <code>(K &eta;)[X] = K(&eta;[X])</code>
 298
 299 *       <code>((&phi; -v- &eta;) F) = ((&phi; F) -v- (&eta; F))</code>
 300
 301 Let's use the definitions of naturalness, and of composition of natural transformations, to establish two lemmas.
 302
 303
 304 Recall that `join` is a natural transformation from the (composite) functor `MM` to `M`. So for elements `C1` in <b>C</b>, `join[C1]` will be a morphism from `MM(C1)` to `M(C1)`. And for any morphism <code>f:C1&rarr;C2</code> in <b>C</b>:
 305
 306 <pre>
 307         (1) join[C2] &#8728; MM(f)  =  M(f) &#8728; join[C1]
 308 </pre>
 309
 310 Next, let <code>&gamma;</code> be a transformation from `G` to `MG'`, and
 311  consider the composite transformation <code>((join MG') -v- (MM &gamma;))</code>.
 312
 313 *       <code>&gamma;</code> assigns elements `C1` in <b>C</b> a morphism <code>&gamma;\*:G(C1) &rarr; MG'(C1)</code>. <code>(MM &gamma;)</code> is a transformation that instead assigns `C1` the morphism <code>MM(&gamma;\*)</code>.
 314
 315 *       `(join MG')` is a transformation from `MM(MG')` to `M(MG')` that assigns `C1` the morphism `join[MG'(C1)]`.
 316
 317 Composing them:
 318
 319 <pre>
 320         (2) ((join MG') -v- (MM &gamma;)) assigns to C1 the morphism join[MG'(C1)] &#8728; MM(&gamma;*).
 321 </pre>
 322
 323 Next, consider the composite transformation <code>((M &gamma;) -v- (join G))</code>:
 324
 325 <pre>
 326         (3) ((M &gamma;) -v- (join G)) assigns to C1 the morphism M(&gamma;*) &#8728; join[G(C1)].
 327 </pre>
 328
 329 So for every element `C1` of <b>C</b>:
 330
 331 <pre>
 332         ((join MG') -v- (MM &gamma;))[C1], by (2) is:
 333         join[MG'(C1)] &#8728; MM(&gamma;*), which by (1), with f=&gamma;*:G(C1)&rarr;MG'(C1) is:
 334         M(&gamma;*) &#8728; join[G(C1)], which by 3 is:
 335         ((M &gamma;) -v- (join G))[C1]
 336 </pre>
 337
 338 So our **(lemma 1)** is:
 339
 340 <pre>
 341         ((join MG') -v- (MM &gamma;))  =  ((M &gamma;) -v- (join G)),
 342         where as we said &gamma; is a natural transformation from G to MG'.
 343 </pre>
 344
 345
 346 Next recall that `unit` is a natural transformation from `1C` to `M`. So for elements `C1` in <b>C</b>, `unit[C1]` will be a morphism from `C1` to `M(C1)`. And for any morphism <code>f:C1&rarr;C2</code> in <b>C</b>:
 347
 348 <pre>
 349         (4) unit[C2] &#8728; f = M(f) &#8728; unit[C1]
 350 </pre>
 351
 352 Next, consider the composite transformation <code>((M &gamma;) -v- (unit G))</code>:
 353
 354 <pre>
 355         (5) ((M &gamma;) -v- (unit G)) assigns to C1 the morphism M(&gamma;*) &#8728; unit[G(C1)].
 356 </pre>
 357
 358 Next, consider the composite transformation <code>((unit MG') -v- &gamma;)</code>:
 359
 360 <pre>
 361         (6) ((unit MG') -v- &gamma;) assigns to C1 the morphism unit[MG'(C1)] &#8728; &gamma;*.
 362 </pre>
 363
 364 So for every element C1 of <b>C</b>:
 365
 366 <pre>
 367         ((M &gamma;) -v- (unit G))[C1], by (5) =
 368         M(&gamma;*) &#8728; unit[G(C1)], which by (4), with f=&gamma;*:G(C1)&rarr;MG'(C1) is:
 369         unit[MG'(C1)] &#8728; &gamma;*, which by (6) =
 370         ((unit MG') -v- &gamma;)[C1]
 371 </pre>
 372
 373 So our **(lemma 2)** is:
 374
 375 <pre>
 376         (((M &gamma;) -v- (unit G))  =  ((unit MG') -v- &gamma;)),
 377         where as we said &gamma; is a natural transformation from G to MG'.
 378 </pre>
 379
 380
 381 Finally, we substitute <code>((join G') -v- (M &gamma;) -v- &phi;)</code> for <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> in the monad laws. For simplicity, I'll omit the "-v-".
 382
 383 <pre>
 384         For all &rho;, &gamma;, &phi; in T,
 385         where &phi; is a transformation from F to MF',
 386         &gamma; is a transformation from G to MG',
 387         &rho; is a transformation from R to MR',
 388         and F'=G and G'=R:
 389
 390              (i) &gamma; <=< &phi; etc are also in T
 391         ==>
 392             (i') ((join G') (M &gamma;) &phi;) etc are also in T
 393 </pre>
 394
 395 <pre>
 396             (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 397         ==>
 398                      (&rho; <=< &gamma;) is a transformation from G to MR', so
 399                          (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi; becomes: ((join R') (M (&rho; <=< &gamma;)) &phi;)
 400                                                         which is: ((join R') (M ((join R') (M &rho;) &gamma;)) &phi;)
 401
 402                          similarly, &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;) is:
 403                                                         ((join R') (M &rho;) ((join G') (M &gamma;) &phi;))
 404
 405                          substituting these into (ii), and helping ourselves to associativity on the rhs, we get:
 406                  ((join R') (M ((join R') (M &rho;) &gamma;)) &phi;) = ((join R') (M &rho;) (join G') (M &gamma;) &phi;)
 407
 408                          which by the distributivity of functors over composition, and helping ourselves to associativity on the lhs, yields:
 409                  ((join R') (M join R') (MM &rho;) (M &gamma;) &phi;) = ((join R') (M &rho;) (join G') (M &gamma;) &phi;)
 410
 411                          which by lemma 1, with &rho; a transformation from G' to MR', yields:
 412                  ((join R') (M join R') (MM &rho;) (M &gamma;) &phi;) = ((join R') (join MR') (MM &rho;) (M &gamma;) &phi;)
 413
 414                          [-- Are the next two steps too cavalier? --]
 415
 416                          which will be true for all &rho;, &gamma;, &phi; only when:
 417                  ((join R') (M join R')) = ((join R') (join MR')), for any R'
 418
 419                          which will in turn be true when:
 420        (ii') (join (M join)) = (join (join M))
 421 </pre>
 422
 423 <pre>
 424          (iii.1) (unit G') <=< &gamma;  =  &gamma;
 425                  when &gamma; is a natural transformation from some FG' to MG'
 426         ==>
 427                          (unit G') is a transformation from G' to MG', so:
 428                          (unit G') <=< &gamma; becomes: ((join G') (M (unit G')) &gamma;)
 429                                               which is: ((join G') ((M unit) G') &gamma;)
 430
 431                          substituting in (iii.1), we get:
 432                          ((join G') ((M unit) G') &gamma;) = &gamma;
 433
 434                          which is:
 435                          (((join (M unit)) G') &gamma;) = &gamma;
 436
 437                          [-- Are the next two steps too cavalier? --]
 438
 439                          which will be true for all &gamma; just in case:
 440                          for any G', ((join (M unit)) G') = the identity transformation
 441
 442                          which will in turn be true just in case:
 443         (iii.1') (join (M unit)) = the identity transformation
 444 </pre>
 445
 446 <pre>
 447          (iii.2) &gamma;  =  &gamma; <=< (unit G)
 448                  when &gamma; is a natural transformation from G to some MR'G
 449         ==>
 450                          &gamma; <=< (unit G) becomes: ((join R'G) (M &gamma;) (unit G))
 451
 452                          substituting in (iii.2), we get:
 453                          &gamma; = ((join R'G) (M &gamma;) (unit G))
 454
 455                          which by lemma 2, yields:
 456                          &gamma; = (((join R'G) ((unit MR'G) &gamma;)
 457
 458                          which is:
 459                          &gamma; = (((join (unit M)) R'G) &gamma;)
 460
 461                          [-- Are the next two steps too cavalier? --]
 462
 463                           which will be true for all &gamma; just in case:
 464                          for any R'G, ((join (unit M)) R'G) = the identity transformation
 465
 466                          which will in turn be true just in case:
 467         (iii.2') (join (unit M)) = the identity transformation
 468 </pre>
 469
 470
 471 Collecting the results, our monad laws turn out in this format to be:
 472
 473 <pre>
 474         For all &rho;, &gamma;, &phi; in T,
 475         where &phi; is a transformation from F to MF',
 476         &gamma; is a transformation from G to MG',
 477         &rho; is a transformation from R to MR',
 478         and F'=G and G'=R:
 479
 480             (i') ((join G') (M &gamma;) &phi;) etc also in T
 481
 482            (ii') (join (M join)) = (join (join M))
 483
 484         (iii.1') (join (M unit)) = the identity transformation
 485
 486         (iii.2') (join (unit M)) = the identity transformation
 487 </pre>
 488
 489
 490
 491 Getting to the functional programming presentation of the monad laws
 492 --------------------------------------------------------------------
 493 In functional programming, `unit` is sometimes called `return` and the monad laws are usually stated in terms of `unit`/`return` and an operation called `bind` which is interdefinable with `<=<` or with `join`.
 494
 495 The base category <b>C</b> will have types as elements, and monadic functions as its morphisms. The source and target of a morphism will be the types of its argument and its result. (As always, there can be multiple distinct morphisms from the same source to the same target.)
 496
 497 A monad `M` will consist of a mapping from types `'t` to types `M('t)`, and a mapping from functions <code>f:C1&rarr;C2</code> to functions <code>M(f):M(C1)&rarr;M(C2)</code>. This is also known as <code>lift<sub>M</sub> f</code> for `M`, and is pronounced "function f lifted into the monad M." For example, where `M` is the list monad, `M` maps every type `'t` into the type `'t list`, and maps every function <code>f:x&rarr;y</code> into the function that maps `[x1,x2...]` to `[y1,y2,...]`.
 498
 499
 500 In functional programming, instead of working with natural transformations we work with "monadic values" and polymorphic functions "into the monad."
 501
 502 A "monadic value" is any member of a type `M('t)`, for any type `'t`. For example, any `int list` is a monadic value for the list monad. We can think of these monadic values as the result of applying some function `phi`, whose type is `F('t)->M(F'('t))`. `'t` here is any collection of free type variables, and `F('t)` and `F'('t)` are types parameterized on `'t`. An example, with `M` being the list monad, `'t` being `('t1,'t2)`, `F('t1,'t2)` being `char * 't1 * 't2`, and `F'('t1,'t2)` being `int * 't1 * 't2`:
 503
 504 <pre>
 505         let phi = fun ((_:char, x y) -> [(1,x,y),(2,x,y)]
 506 </pre>
 507
 508
 509
 510 Now where `gamma` is another function of type <code>F'('t) &rarr; M(G'('t))</code>, we define:
 511
 512 <pre>
 513         gamma =<< phi a  =def. ((join G') -v- (M gamma)) (phi a)
 514                          = ((join G') -v- (M gamma) -v- phi) a
 515                                          = (gamma <=< phi) a
 516 </pre>
 517
 518 Hence:
 519
 520 <pre>
 521         gamma <=< phi = fun a -> (gamma =<< phi a)
 522 </pre>
 523
 524 `gamma =<< phi a` is called the operation of "binding" the function gamma to the monadic value `phi a`, and is usually written as `phi a >>= gamma`.
 525
 526 With these definitions, our monadic laws become:
 527
 528
 529 <pre>
 530         Where phi is a polymorphic function of type F('t) -> M(F'('t))
 531         gamma is a polymorphic function of type G('t) -> M(G'('t))
 532         rho is a polymorphic function of type R('t) -> M(R'('t))
 533         and F' = G and G' = R,
 534         and a ranges over values of type F('t),
 535         b ranges over values of type G('t),
 536         and c ranges over values of type G'('t):
 537
 538               (i) &gamma; <=< &phi; is defined,
 539                           and is a natural transformation from F to MG'
 540         ==>
 541                 (i'') fun a -> gamma =<< phi a is defined,
 542                           and is a function from type F('t) -> M(G'('t))
 543 </pre>
 544
 545 <pre>
 546              (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 547         ==>
 548                           (fun a -> (rho <=< gamma) =<< phi a)  =  (fun a -> rho =<< (gamma <=< phi) a)
 549                           (fun a -> (fun b -> rho =<< gamma b) =<< phi a)  =  (fun a -> rho =<< (gamma =<< phi a))
 550
 551            (ii'') (fun b -> rho =<< gamma b) =<< phi a  =  rho =<< (gamma =<< phi a)
 552 </pre>
 553
 554 <pre>
 555           (iii.1) (unit G') <=< &gamma;  =  &gamma;
 556                   when &gamma; is a natural transformation from some FG' to MG'
 557         ==>
 558                           (unit G') <=< gamma  =  gamma
 559                           when gamma is a function of type F(G'('t)) -> M(G'('t))
 560
 561                           fun b -> (unit G') =<< gamma b  =  gamma
 562
 563                           (unit G') =<< gamma b  =  gamma b
 564
 565                           Let return be a polymorphic function mapping arguments of any
 566                           type 't to M('t). In particular, it maps arguments c of type
 567                           G'('t) to the monadic value (unit G') c, of type M(G'('t)).
 568
 569         (iii.1'') return =<< gamma b  =  gamma b
 570 </pre>
 571
 572 <pre>
 573           (iii.2) &gamma;  =  &gamma; <=< (unit G)
 574                   when &gamma; is a natural transformation from G to some MR'G
 575         ==>
 576                           gamma  =  gamma <=< (unit G)
 577                           when gamma is a function of type G('t) -> M(R'(G('t)))
 578
 579                           gamma  =  fun b -> gamma =<< (unit G) b
 580
 581                           As above, return will map arguments b of type G('t) to the
 582                           monadic value (unit G) b, of type M(G('t)).
 583
 584                           gamma  =  fun b -> gamma =<< return b
 585
 586         (iii.2'') gamma b  =  gamma =<< return b
 587 </pre>
 588
 589 Summarizing (ii''), (iii.1''), (iii.2''), these are the monadic laws as usually stated in the functional programming literature:
 590
 591 *       `fun b -> rho =<< gamma b) =<< phi a  =  rho =<< (gamma =<< phi a)`
 592
 593         Usually written reversed, and with a monadic variable `u` standing in
 594         for `phi a`:
 595
 596         `u >>= (fun b -> gamma b >>= rho)  =  (u >>= gamma) >>= rho`
 597
 598 *       `return =<< gamma b  =  gamma b`
 599
 600         Usually written reversed, and with `u` standing in for `gamma b`:
 601
 602         `u >>= return  =  u`
 603
 604 *       `gamma b  =  gamma =<< return b`
 605
 606         Usually written reversed:
 607
 608         `return b >>= gamma  =  gamma b`
 609
 610