advanced_topics/monads_in_category_theory.mdwn

   1 Caveats
   2 -------
   3 I really don't know much category theory. Just enough to put this
   4 together. Also, this really is "put together." I haven't yet found an
   5 authoritative source (that's accessible to a category theory beginner like
   6 myself) that discusses the correspondence between the category-theoretic and
   7 functional programming uses of these notions in enough detail to be sure that
   8 none of the pieces here is mistaken.
   9 In particular, it wasn't completely obvious how to map the polymorphism on the
  10 programming theory side into the category theory. The way I accomplished this
  11 may be more complex than it needs to be.
  12 Also I'm bothered by the fact that our `<=<` operation is only partly defined
  13 on our domain of natural transformations.
  14 There are three additional points below that I wonder whether may be too
  15 cavalier.
  16 But all considered, this does seem to
  17 me to be a reasonable way to put the pieces together. We very much welcome
  18 feedback from anyone who understands these issues better, and will make
  19 corrections.
  20
  21
  22 Monoids
  23 -------
  24 A **monoid** is a structure <code>(S,&#8902;,z)</code> consisting of an associative binary operation <code>&#8902;</code> over some set `S`, which is closed under <code>&#8902;</code>, and which contains an identity element `z` for <code>&#8902;</code>. That is:
  25
  26
  27 <pre>
  28         for all s1, s2, s3 in S:
  29           (i) s1&#8902;s2 etc are also in S
  30          (ii) (s1&#8902;s2)&#8902;s3 = s1&#8902;(s2&#8902;s3)
  31         (iii) z&#8902;s1 = s1 = s1&#8902;z
  32 </pre>
  33
  34 Some examples of monoids are:
  35
  36 *       finite strings of an alphabet `A`, with <code>&#8902;</code> being concatenation and `z` being the empty string
  37 *       all functions <code>X&rarr;X</code> over a set `X`, with <code>&#8902;</code> being composition and `z` being the identity function over `X`
  38 *       the natural numbers with <code>&#8902;</code> being plus and `z` being 0 (in particular, this is a **commutative monoid**). If we use the integers, or the naturals mod n, instead of the naturals, then every element will have an inverse and so we have not merely a monoid but a **group**.
  39 *       if we let <code>&#8902;</code> be multiplication and `z` be 1, we get different monoids over the same sets as in the previous item.
  40
  41 Categories
  42 ----------
  43 A **category** is a generalization of a monoid. A category consists of a class of **elements**, and a class of **morphisms** between those elements. Morphisms are sometimes also called maps or arrows. They are something like functions (and as we'll see below, given a set of functions they'll determine a category). However, a single morphism only maps between a single source element and a single target element. Also, there can be multiple distinct morphisms between the same source and target, so the identity of a morphism goes beyond its "extension."
  44
  45 When a morphism `f` in category <b>C</b> has source `C1` and target `C2`, we'll write <code>f:C1&rarr;C2</code>.
  46
  47 To have a category, the elements and morphisms have to satisfy some constraints:
  48
  49 <pre>
  50           (i) the class of morphisms has to be closed under composition:
  51               where f:C1&rarr;C2 and g:C2&rarr;C3, g &#8728; f is also a
  52               morphism of the category, which maps C1&rarr;C3.
  53
  54          (ii) composition of morphisms has to be associative
  55
  56         (iii) every element X of the category has to have an identity
  57               morphism 1<sub>X</sub>, which is such that for every morphism f:C1&rarr;C2:
  58               1<sub>C2</sub> &#8728; f = f = f &#8728; 1<sub>C1</sub>
  59 </pre>
  60
  61 These parallel the constraints for monoids. Note that there can be multiple distinct morphisms between an element `X` and itself; they need not all be identity morphisms. Indeed from (iii) it follows that each element can have only a single identity morphism.
  62
  63 A good intuitive picture of a category is as a generalized directed graph, where the category elements are the graph's nodes, and there can be multiple directed edges between a given pair of nodes, and nodes can also have multiple directed edges to themselves. Morphisms correspond to directed paths of length &ge; 0 in the graph.
  64
  65
  66 Some examples of categories are:
  67
  68 *       Categories whose elements are sets and whose morphisms are functions between those sets. Here the source and target of a function are its domain and range, so distinct functions sharing a domain and range (e.g., `sin` and `cos`) are distinct morphisms between the same source and target elements. The identity morphism for any element/set is just the identity function for that set.
  69
  70 *       any monoid <code>(S,&#8902;,z)</code> generates a category with a single element `Q`; this `Q` need not have any relation to `S`. The members of `S` play the role of *morphisms* of this category, rather than its elements. All of these morphisms are understood to map `Q` to itself. The result of composing the morphism consisting of `s1` with the morphism `s2` is the morphism `s3`, where <code>s3=s1&#8902;s2</code>. The identity morphism for the (single) category element `Q` is the monoid's identity `z`.
  71
  72 *       a **preorder** is a structure <code>(S, &le;)</code> consisting of a reflexive, transitive, binary relation on a set `S`. It need not be connected (that is, there may be members `s1`,`s2` of `S` such that neither <code>s1 &le; s2</code> nor <code>s2 &le; s1</code>). It need not be anti-symmetric (that is, there may be members `s1`,`s2` of `S` such that <code>s1 &le; s2</code> and <code>s2 &le; s1</code> but `s1` and `s2` are not identical). Some examples:
  73
  74         *       sentences ordered by logical implication ("p and p" implies and is implied by "p", but these sentences are not identical; so this illustrates a pre-order without anti-symmetry)
  75         *       sets ordered by size (this illustrates it too)
  76
  77         Any pre-order <code>(S,&le;)</code> generates a category whose elements are the members of `S` and which has only a single morphism between any two elements `s1` and `s2`, iff <code>s1 &le; s2</code>.
  78
  79
  80 Functors
  81 --------
  82 A **functor** is a "homomorphism", that is, a structure-preserving mapping, between categories. In particular, a functor `F` from category <b>C</b> to category <b>D</b> must:
  83
  84 <pre>
  85           (i) associate with every element C1 of <b>C</b> an element F(C1) of <b>D</b>
  86
  87          (ii) associate with every morphism f:C1&rarr;C2 of <b>C</b> a morphism F(f):F(C1)&rarr;F(C2) of <b>D</b>
  88
  89         (iii) "preserve identity", that is, for every element C1 of <b>C</b>:
  90               F of C1's identity morphism in <b>C</b> must be the identity morphism of F(C1) in <b>D</b>:
  91               F(1<sub>C1</sub>) = 1<sub>F(C1)</sub>.
  92
  93          (iv) "distribute over composition", that is for any morphisms f and g in <b>C</b>:
  94               F(g &#8728; f) = F(g) &#8728; F(f)
  95 </pre>
  96
  97 A functor that maps a category to itself is called an **endofunctor**. The (endo)functor that maps every element and morphism of <b>C</b> to itself is denoted `1C`.
  98
  99 How functors compose: If `G` is a functor from category <b>C</b> to category <b>D</b>, and `K` is a functor from category <b>D</b> to category <b>E</b>, then `KG` is a functor which maps every element `C1` of <b>C</b> to element `K(G(C1))` of <b>E</b>, and maps every morphism `f` of <b>C</b> to morphism `K(G(f))` of <b>E</b>.
 100
 101 I'll assert without proving that functor composition is associative.
 102
 103
 104
 105 Natural Transformation
 106 ----------------------
 107 So categories include elements and morphisms. Functors consist of mappings from the elements and morphisms of one category to those of another (or the same) category. **Natural transformations** are a third level of mappings, from one functor to another.
 108
 109 Where `G` and `H` are functors from category <b>C</b> to category <b>D</b>, a natural transformation &eta; between `G` and `H` is a family of morphisms <code>&eta;[C1]:G(C1)&rarr;H(C1)</code> in <b>D</b> for each element `C1` of <b>C</b>. That is, <code>&eta;[C1]</code> has as source `C1`'s image under `G` in <b>D</b>, and as target `C1`'s image under `H` in <b>D</b>. The morphisms in this family must also satisfy the constraint:
 110
 111 <pre>
 112         for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>:
 113         &eta;[C2] &#8728; G(f) = H(f) &#8728; &eta;[C1]
 114 </pre>
 115
 116 That is, the morphism via `G(f)` from `G(C1)` to `G(C2)`, and then via <code>&eta;[C2]</code> to `H(C2)`, is identical to the morphism from `G(C1)` via <code>&eta;[C1]</code> to `H(C1)`, and then via `H(f)` from `H(C1)` to `H(C2)`.
 117
 118
 119 How natural transformations compose:
 120
 121 Consider four categories <b>B</b>, <b>C</b>, <b>D</b>, and <b>E</b>. Let `F` be a functor from <b>B</b> to <b>C</b>; `G`, `H`, and `J` be functors from <b>C</b> to <b>D</b>; and `K` and `L` be functors from <b>D</b> to <b>E</b>. Let &eta; be a natural transformation from `G` to `H`; &phi; be a natural transformation from `H` to `J`; and &psi; be a natural transformation from `K` to `L`. Pictorally:
 122
 123 <pre>
 124         - <b>B</b> -+ +--- <b>C</b> --+ +---- <b>D</b> -----+ +-- <b>E</b> --
 125                  | |        | |            | |
 126          F: ------> G: ------>     K: ------>
 127                  | |        | |  | &eta;       | |  | &psi;
 128                  | |        | |  v         | |  v
 129                  | |    H: ------>     L: ------>
 130                  | |        | |  | &phi;       | |
 131                  | |        | |  v         | |
 132                  | |    J: ------>         | |
 133         -----+ +--------+ +------------+ +-------
 134 </pre>
 135
 136 Then <code>(&eta; F)</code> is a natural transformation from the (composite) functor `GF` to the composite functor `HF`, such that where `B1` is an element of category <b>B</b>, <code>(&eta; F)[B1] = &eta;[F(B1)]</code>---that is, the morphism in <b>D</b> that <code>&eta;</code> assigns to the element `F(B1)` of <b>C</b>.
 137
 138 And <code>(K &eta;)</code> is a natural transformation from the (composite) functor `KG` to the (composite) functor `KH`, such that where `C1` is an element of category <b>C</b>, <code>(K &eta;)[C1] = K(&eta;[C1])</code>---that is, the morphism in <b>E</b> that `K` assigns to the morphism <code>&eta;[C1]</code> of <b>D</b>.
 139
 140
 141 <code>(&phi; -v- &eta;)</code> is a natural transformation from `G` to `J`; this is known as a "vertical composition". For any morphism <code>f:C1&rarr;C2</code> in <b>C</b>:
 142
 143 <pre>
 144         &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1] = &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1]
 145 </pre>
 146
 147 by naturalness of <code>&phi;</code>, is:
 148
 149 <pre>
 150         &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1] = J(f) &#8728; &phi;[C1] &#8728; &eta;[C1]
 151 </pre>
 152
 153 by naturalness of <code>&eta;</code>, is:
 154
 155 <pre>
 156         &phi;[C2] &#8728; &eta;[C2] &#8728; G(f) = J(f) &#8728; &phi;[C1] &#8728; &eta;[C1]
 157 </pre>
 158
 159 Hence, we can define <code>(&phi; -v- &eta;)[\_]</code> as: <code>&phi;[\_] &#8728; &eta;[\_]</code> and rely on it to satisfy the constraints for a natural transformation from `G` to `J`:
 160
 161 <pre>
 162         (&phi; -v- &eta;)[C2] &#8728; G(f) = J(f) &#8728; (&phi; -v- &eta;)[C1]
 163 </pre>
 164
 165 An observation we'll rely on later: given the definitions of vertical composition and of how natural transformations compose with functors, it follows that:
 166
 167 <pre>
 168         ((&phi; -v- &eta;) F) = ((&phi; F) -v- (&eta; F))
 169 </pre>
 170
 171 I'll assert without proving that vertical composition is associative and has an identity, which we'll call "the identity transformation."
 172
 173
 174 <code>(&psi; -h- &eta;)</code> is natural transformation from the (composite) functor `KG` to the (composite) functor `LH`; this is known as a "horizontal composition." It's trickier to define, but we won't be using it here. For reference:
 175
 176 <pre>
 177         (&phi; -h- &eta;)[C1]  =  L(&eta;[C1]) &#8728; &psi;[G(C1)]
 178                                    =  &psi;[H(C1)] &#8728; K(&eta;[C1])
 179 </pre>
 180
 181 Horizontal composition is also associative, and has the same identity as vertical composition.
 182
 183
 184
 185 Monads
 186 ------
 187 In earlier days, these were also called "triples."
 188
 189 A **monad** is a structure consisting of an (endo)functor `M` from some category <b>C</b> to itself, along with some natural transformations, which we'll specify in a moment.
 190
 191 Let `T` be a set of natural transformations <code>&phi;</code>, each being between some arbitrary endofunctor `F` on <b>C</b> and another functor which is the composite `MF'` of `M` and another arbitrary endofunctor `F'` on <b>C</b>. That is, for each element `C1` in <b>C</b>, <code>&phi;</code> assigns `C1` a morphism from element `F(C1)` to element `MF'(C1)`, satisfying the constraints detailed in the previous section. For different members of `T`, the relevant functors may differ; that is, <code>&phi;</code> is a transformation from functor `F` to `MF'`, <code>&gamma;</code> is a transformation from functor `G` to `MG'`, and none of `F`, `F'`, `G`, `G'` need be the same.
 192
 193 One of the members of `T` will be designated the `unit` transformation for `M`, and it will be a transformation from the identity functor `1C` for <b>C</b> to `M(1C)`. So it will assign to `C1` a morphism from `C1` to `M(C1)`.
 194
 195 We also need to designate for `M` a `join` transformation, which is a natural transformation from the (composite) functor `MM` to `M`.
 196
 197 These two natural transformations have to satisfy some constraints ("the monad laws") which are most easily stated if we can introduce a defined notion.
 198
 199 Let <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> be members of `T`, that is they are natural transformations from `F` to `MF'` and from `G` to `MG'`, respectively. Let them be such that `F' = G`. Now <code>(M &gamma;)</code> will also be a natural transformation, formed by composing the functor `M` with the natural transformation <code>&gamma;</code>. Similarly, `(join G')` will be a natural transformation, formed by composing the natural transformation `join` with the functor `G'`; it will transform the functor `MMG'` to the functor `MG'`. Now take the vertical composition of the three natural transformations `(join G')`, <code>(M &gamma;)</code>, and <code>&phi;</code>, and abbreviate it as follows. Since composition is associative I don't specify the order of composition on the rhs.
 200
 201 <pre>
 202         &gamma; <=< &phi;  =def.  ((join G') -v- (M &gamma;) -v- &phi;)
 203 </pre>
 204
 205 In other words, `<=<` is a binary operator that takes us from two members <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> of `T` to a composite natural transformation. (In functional programming, at least, this is called the "Kleisli composition operator". Sometimes it's written <code>&phi; >=> &gamma;</code> where that's the same as <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code>.)
 206
 207 <code>&phi;</code> is a transformation from `F` to `MF'`, where the latter = `MG`; <code>(M &gamma;)</code> is a transformation from `MG` to `MMG'`; and `(join G')` is a transformation from `MMG'` to `MG'`. So the composite <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> will be a transformation from `F` to `MG'`, and so also eligible to be a member of `T`.
 208
 209 Now we can specify the "monad laws" governing a monad as follows:
 210
 211 <pre>
 212         (T, <=<, unit) constitute a monoid
 213 </pre>
 214
 215 That's it. Well, there may be a wrinkle here. I don't know whether the definition of a monoid requires the operation to be defined for every pair in its set. In the present case, <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> isn't fully defined on `T`, but only when <code>&phi;</code> is a transformation to some `MF'` and <code>&gamma;</code> is a transformation from `F'`. But wherever `<=<` is defined, the monoid laws must hold:
 216
 217 <pre>
 218             (i) &gamma; <=< &phi; is also in T
 219
 220            (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 221
 222         (iii.1) unit <=< &phi;  =  &phi;
 223                 (here &phi; has to be a natural transformation to M(1C))
 224
 225         (iii.2)                &rho;  =  &rho; <=< unit
 226                 (here &rho; has to be a natural transformation from 1C)
 227 </pre>
 228
 229 If <code>&phi;</code> is a natural transformation from `F` to `M(1C)` and <code>&gamma;</code> is <code>(&phi; G')</code>, that is, a natural transformation from `FG'` to `MG'`, then we can extend (iii.1) as follows:
 230
 231 <pre>
 232         &gamma; = (&phi; G')
 233           = ((unit <=< &phi;) G')
 234           since unit is a natural transformation to M(1C), this is:
 235           = (((join 1C) -v- (M unit) -v- &phi;) G')
 236           = (((join 1C) G') -v- ((M unit) G') -v- (&phi; G'))
 237           = ((join (1C G')) -v- (M (unit G')) -v- &gamma;)
 238           = ((join G') -v- (M (unit G')) -v- &gamma;)
 239           since (unit G') is a natural transformation to MG', this is:
 240           = (unit G') <=< &gamma;
 241 </pre>
 242
 243 where as we said <code>&gamma;</code> is a natural transformation from some `FG'` to `MG'`.
 244
 245 Similarly, if <code>&rho;</code> is a natural transformation from `1C` to `MR'`, and <code>&gamma;</code> is <code>(&rho; G)</code>, that is, a natural transformation from `G` to `MR'G`, then we can extend (iii.2) as follows:
 246
 247 <pre>
 248         &gamma; = (&rho; G)
 249           = ((&rho; <=< unit) G)
 250           = since &rho; is a natural transformation to MR', this is:
 251           = (((join R') -v- (M &rho;) -v- unit) G)
 252           = (((join R') G) -v- ((M &rho;) G) -v- (unit G))
 253           = ((join (R'G)) -v- (M (&rho; G)) -v- (unit G))
 254           since &gamma; = (&rho; G) is a natural transformation to MR'G, this is:
 255           = &gamma; <=< (unit G)
 256 </pre>
 257
 258 where as we said <code>&gamma;</code> is a natural transformation from `G` to some `MR'G`.
 259
 260 Summarizing then, the monad laws can be expressed as:
 261
 262 <pre>
 263         For all &rho;, &gamma;, &phi; in T for which &rho; <=< &gamma; and &gamma; <=< &phi; are defined:
 264
 265             (i) &gamma; <=< &phi; etc are also in T
 266
 267            (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 268
 269         (iii.1) (unit G') <=< &gamma;  =  &gamma;
 270                 whenever &gamma; is a natural transformation from some FG' to MG'
 271
 272         (iii.2)                     &gamma;  =  &gamma; <=< (unit G)
 273                 whenever &gamma; is a natural transformation from G to some MR'G
 274 </pre>
 275
 276
 277
 278 Getting to the standard category-theory presentation of the monad laws
 279 ----------------------------------------------------------------------
 280 In category theory, the monad laws are usually stated in terms of `unit` and `join` instead of `unit` and `<=<`.
 281
 282 <!--
 283         P2. every element C1 of a category <b>C</b> has an identity morphism 1<sub>C1</sub> such that for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>: 1<sub>C2</sub> &#8728; f = f = f &#8728; 1<sub>C1</sub>.
 284         P3. functors "preserve identity", that is for every element C1 in F's source category: F(1<sub>C1</sub>) = 1<sub>F(C1)</sub>.
 285 -->
 286
 287 Let's remind ourselves of principles stated above:
 288
 289 *       composition of morphisms, functors, and natural compositions is associative
 290
 291 *       functors "distribute over composition", that is for any morphisms `f` and `g` in `F`'s source category: <code>F(g &#8728; f) = F(g) &#8728; F(f)</code>
 292
 293 *       if <code>&eta;</code> is a natural transformation from `G` to `H`, then for every <code>f:C1&rarr;C2</code> in `G` and `H`'s source category <b>C</b>: <code>&eta;[C2] &#8728; G(f) = H(f) &#8728; &eta;[C1]</code>.
 294
 295 *       <code>(&eta; F)[X] = &eta;[F(X)]</code>
 296
 297 *       <code>(K &eta;)[X] = K(&eta;[X])</code>
 298
 299 *       <code>((&phi; -v- &eta;) F) = ((&phi; F) -v- (&eta; F))</code>
 300
 301 Let's use the definitions of naturalness, and of composition of natural transformations, to establish two lemmas.
 302
 303
 304 Recall that `join` is a natural transformation from the (composite) functor `MM` to `M`. So for elements `C1` in <b>C</b>, `join[C1]` will be a morphism from `MM(C1)` to `M(C1)`. And for any morphism <code>f:C1&rarr;C2</code> in <b>C</b>:
 305
 306 <pre>
 307         (1) join[C2] &#8728; MM(f)  =  M(f) &#8728; join[C1]
 308 </pre>
 309
 310 Next, let <code>&gamma;</code> be a transformation from `G` to `MG'`, and
 311  consider the composite transformation <code>((join MG') -v- (MM &gamma;))</code>.
 312
 313 *       <code>&gamma;</code> assigns elements `C1` in <b>C</b> a morphism <code>&gamma;\*:G(C1) &rarr; MG'(C1)</code>. <code>(MM &gamma;)</code> is a transformation that instead assigns `C1` the morphism <code>MM(&gamma;\*)</code>.
 314
 315 *       `(join MG')` is a transformation from `MM(MG')` to `M(MG')` that assigns `C1` the morphism `join[MG'(C1)]`.
 316
 317 Composing them:
 318
 319 <pre>
 320         (2) ((join MG') -v- (MM &gamma;)) assigns to C1 the morphism join[MG'(C1)] &#8728; MM(&gamma;*).
 321 </pre>
 322
 323 Next, consider the composite transformation <code>((M &gamma;) -v- (join G))</code>:
 324
 325 <pre>
 326         (3) ((M &gamma;) -v- (join G)) assigns to C1 the morphism M(&gamma;*) &#8728; join[G(C1)].
 327 </pre>
 328
 329 So for every element `C1` of <b>C</b>:
 330
 331 <pre>
 332         ((join MG') -v- (MM &gamma;))[C1], by (2) is:
 333         join[MG'(C1)] &#8728; MM(&gamma;*), which by (1), with f=&gamma;*:G(C1)&rarr;MG'(C1) is:
 334         M(&gamma;*) &#8728; join[G(C1)], which by 3 is:
 335         ((M &gamma;) -v- (join G))[C1]
 336 </pre>
 337
 338 So our **(lemma 1)** is:
 339
 340 <pre>
 341         ((join MG') -v- (MM &gamma;))  =  ((M &gamma;) -v- (join G)),
 342         where as we said &gamma; is a natural transformation from G to MG'.
 343 </pre>
 344
 345
 346 Next recall that `unit` is a natural transformation from `1C` to `M`. So for elements `C1` in <b>C</b>, `unit[C1]` will be a morphism from `C1` to `M(C1)`. And for any morphism <code>f:C1&rarr;C2</code> in <b>C</b>:
 347
 348 <pre>
 349         (4) unit[C2] &#8728; f = M(f) &#8728; unit[C1]
 350 </pre>
 351
 352 Next, consider the composite transformation <code>((M &gamma;) -v- (unit G))</code>:
 353
 354 <pre>
 355         (5) ((M &gamma;) -v- (unit G)) assigns to C1 the morphism M(&gamma;*) &#8728; unit[G(C1)].
 356 </pre>
 357
 358 Next, consider the composite transformation <code>((unit MG') -v- &gamma;)</code>:
 359
 360 <pre>
 361         (6) ((unit MG') -v- &gamma;) assigns to C1 the morphism unit[MG'(C1)] &#8728; &gamma;*.
 362 </pre>
 363
 364 So for every element C1 of <b>C</b>:
 365
 366 <pre>
 367         ((M &gamma;) -v- (unit G))[C1], by (5) =
 368         M(&gamma;*) &#8728; unit[G(C1)], which by (4), with f=&gamma;*:G(C1)&rarr;MG'(C1) is:
 369         unit[MG'(C1)] &#8728; &gamma;*, which by (6) =
 370         ((unit MG') -v- &gamma;)[C1]
 371 </pre>
 372
 373 So our **(lemma 2)** is:
 374
 375 <pre>
 376         (((M &gamma;) -v- (unit G))  =  ((unit MG') -v- &gamma;)),
 377         where as we said &gamma; is a natural transformation from G to MG'.
 378 </pre>
 379
 380
 381 Finally, we substitute <code>((join G') -v- (M &gamma;) -v- &phi;)</code> for <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> in the monad laws. For simplicity, I'll omit the "-v-".
 382
 383 <pre>
 384         For all &rho;, &gamma;, &phi; in T,
 385         where &phi; is a transformation from F to MF',
 386         &gamma; is a transformation from G to MG',
 387         &rho; is a transformation from R to MR',
 388         and F'=G and G'=R:
 389
 390              (i) &gamma; <=< &phi; etc are also in T
 391         ==>
 392             (i') ((join G') (M &gamma;) &phi;) etc are also in T
 393 </pre>
 394
 395 <pre>
 396             (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 397         ==>
 398                      (&rho; <=< &gamma;) is a transformation from G to MR', so
 399                          (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi; becomes: ((join R') (M (&rho; <=< &gamma;)) &phi;)
 400                                                         which is: ((join R') (M ((join R') (M &rho;) &gamma;)) &phi;)
 401
 402                          similarly, &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;) is:
 403                                                         ((join R') (M &rho;) ((join G') (M &gamma;) &phi;))
 404
 405                          substituting these into (ii), and helping ourselves to associativity on the rhs, we get:
 406                  ((join R') (M ((join R') (M &rho;) &gamma;)) &phi;) = ((join R') (M &rho;) (join G') (M &gamma;) &phi;)
 407
 408                          which by the distributivity of functors over composition, and helping ourselves to associativity on the lhs, yields:
 409                  ((join R') (M join R') (MM &rho;) (M &gamma;) &phi;) = ((join R') (M &rho;) (join G') (M &gamma;) &phi;)
 410
 411                          which by lemma 1, with &rho; a transformation from G' to MR', yields:
 412                  ((join R') (M join R') (MM &rho;) (M &gamma;) &phi;) = ((join R') (join MR') (MM &rho;) (M &gamma;) &phi;)
 413
 414                          [-- Are the next two steps too cavalier? --]
 415
 416                          which will be true for all &rho;, &gamma;, &phi; only when:
 417                  ((join R') (M join R')) = ((join R') (join MR')), for any R'
 418
 419                          which will in turn be true when:
 420        (ii') (join (M join)) = (join (join M))
 421 </pre>
 422
 423 <pre>
 424          (iii.1) (unit G') <=< &gamma;  =  &gamma;
 425                  when &gamma; is a natural transformation from some FG' to MG'
 426         ==>
 427                          (unit G') is a transformation from G' to MG', so:
 428                          (unit G') <=< &gamma; becomes: ((join G') (M (unit G')) &gamma;)
 429                                               which is: ((join G') ((M unit) G') &gamma;)
 430
 431                          substituting in (iii.1), we get:
 432                          ((join G') ((M unit) G') &gamma;) = &gamma;
 433
 434                          which is:
 435                          (((join (M unit)) G') &gamma;) = &gamma;
 436
 437                          [-- Are the next two steps too cavalier? --]
 438
 439                          which will be true for all &gamma; just in case:
 440                          for any G', ((join (M unit)) G') = the identity transformation
 441
 442                          which will in turn be true just in case:
 443         (iii.1') (join (M unit)) = the identity transformation
 444 </pre>
 445
 446 <pre>
 447          (iii.2) &gamma;  =  &gamma; <=< (unit G)
 448                  when &gamma; is a natural transformation from G to some MR'G
 449         ==>
 450                          &gamma; <=< (unit G) becomes: ((join R'G) (M &gamma;) (unit G))
 451
 452                          substituting in (iii.2), we get:
 453                          &gamma; = ((join R'G) (M &gamma;) (unit G))
 454
 455                          which by lemma 2, yields:
 456                          &gamma; = (((join R'G) ((unit MR'G) &gamma;)
 457
 458                          which is:
 459                          &gamma; = (((join (unit M)) R'G) &gamma;)
 460
 461                          [-- Are the next two steps too cavalier? --]
 462
 463                           which will be true for all &gamma; just in case:
 464                          for any R'G, ((join (unit M)) R'G) = the identity transformation
 465
 466                          which will in turn be true just in case:
 467         (iii.2') (join (unit M)) = the identity transformation
 468 </pre>
 469
 470
 471 Collecting the results, our monad laws turn out in this format to be:
 472
 473 <pre>
 474         For all &rho;, &gamma;, &phi; in T,
 475         where &phi; is a transformation from F to MF',
 476         &gamma; is a transformation from G to MG',
 477         &rho; is a transformation from R to MR',
 478         and F'=G and G'=R:
 479
 480             (i') ((join G') (M &gamma;) &phi;) etc also in T
 481
 482            (ii') (join (M join)) = (join (join M))
 483
 484         (iii.1') (join (M unit)) = the identity transformation
 485
 486         (iii.2') (join (unit M)) = the identity transformation
 487 </pre>
 488
 489 In category-theory presentations, you may see `unit` referred to as <code>&eta;</code>, and `join` referred to as <code>&mu;</code>. Also, instead of the monad `(M, unit, join)`, you may sometimes see discussion of the "Kleisli triple" `(M, unit, =<<)`. Alternatively, `=<<` may be called <code>&#8902;</code>. These are interdefinable (see below).
 490
 491
 492 Getting to the functional programming presentation of the monad laws
 493 --------------------------------------------------------------------
 494 In functional programming, `unit` is sometimes called `return` and the monad laws are usually stated in terms of `unit`/`return` and an operation called `bind` which is interdefinable with `<=<` or with `join`.
 495
 496 The base category <b>C</b> will have types as elements, and monadic functions as its morphisms. The source and target of a morphism will be the types of its argument and its result. (As always, there can be multiple distinct morphisms from the same source to the same target.)
 497
 498 A monad `M` will consist of a mapping from types `'t` to types `M('t)`, and a mapping from functions <code>f:C1&rarr;C2</code> to functions <code>M(f):M(C1)&rarr;M(C2)</code>. This is also known as <code>lift<sub>M</sub> f</code> for `M`, and is pronounced "function f lifted into the monad M." For example, where `M` is the list monad, `M` maps every type `'t` into the type `'t list`, and maps every function <code>f:x&rarr;y</code> into the function that maps `[x1,x2...]` to `[y1,y2,...]`.
 499
 500
 501 In functional programming, instead of working with natural transformations we work with "monadic values" and polymorphic functions "into the monad."
 502
 503 A "monadic value" is any member of a type `M('t)`, for any type `'t`. For example, any `int list` is a monadic value for the list monad. We can think of these monadic values as the result of applying some function `phi`, whose type is `F('t) -> M(F'('t))`. `'t` here is any collection of free type variables, and `F('t)` and `F'('t)` are types parameterized on `'t`. An example, with `M` being the list monad, `'t` being `('t1,'t2)`, `F('t1,'t2)` being `char * 't1 * 't2`, and `F'('t1,'t2)` being `int * 't1 * 't2`:
 504
 505 <pre>
 506         let phi = fun ((_:char), x, y) -> [(1,x,y),(2,x,y)]
 507 </pre>
 508
 509 [-- I intentionally chose this polymorphic function because simpler ways of mapping the polymorphic monad operations from functional programming onto the category theory notions can't accommodate it. We have all the F, MF' (unit G') and so on in order to be able to be handle even phis like this. --]
 510
 511
 512 Now where `gamma` is another function of type <code>F'('t) -> M(G'('t))</code>, we define:
 513
 514 <pre>
 515         gamma =<< phi a  =def. ((join G') -v- (M gamma)) (phi a)
 516                          = ((join G') -v- (M gamma) -v- phi) a
 517                                          = (gamma <=< phi) a
 518 </pre>
 519
 520 Hence:
 521
 522 <pre>
 523         gamma <=< phi = (fun a -> gamma =<< phi a)
 524 </pre>
 525
 526 `gamma =<< phi a` is called the operation of "binding" the function gamma to the monadic value `phi a`, and is usually written as `phi a >>= gamma`.
 527
 528 With these definitions, our monadic laws become:
 529
 530
 531 <pre>
 532         Where phi is a polymorphic function of type F('t) -> M(F'('t))
 533         gamma is a polymorphic function of type G('t) -> M(G'('t))
 534         rho is a polymorphic function of type R('t) -> M(R'('t))
 535         and F' = G and G' = R,
 536         and a ranges over values of type F('t),
 537         and b ranges over values of type G('t),
 538         and c ranges over values of type G'('t):
 539
 540               (i) &gamma; <=< &phi; is defined,
 541                           and is a natural transformation from F to MG'
 542         ==>
 543                 (i'') fun a -> gamma =<< phi a is defined,
 544                           and is a function from type F('t) -> M(G'('t))
 545 </pre>
 546
 547 <pre>
 548              (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 549         ==>
 550                           (fun a -> (rho <=< gamma) =<< phi a)  =  (fun a -> rho =<< (gamma <=< phi) a)
 551                           (fun a -> (fun b -> rho =<< gamma b) =<< phi a)  =
 552                                                       (fun a -> rho =<< (gamma =<< phi a))
 553
 554            (ii'') (fun b -> rho =<< gamma b) =<< phi a  =  rho =<< (gamma =<< phi a)
 555 </pre>
 556
 557 <pre>
 558           (iii.1) (unit G') <=< &gamma;  =  &gamma;
 559                   whenever &gamma; is a natural transformation from some FG' to MG'
 560         ==>
 561                           (unit G') <=< gamma  =  gamma
 562                           whenever gamma is a function of type F(G'('t)) -> M(G'('t))
 563
 564                           (fun b -> (unit G') =<< gamma b)  =  gamma
 565
 566                           (unit G') =<< gamma b  =  gamma b
 567
 568                           Let return be a polymorphic function mapping arguments of any
 569                           type 't to M('t). In particular, it maps arguments c of type
 570                           G'('t) to the monadic value (unit G') c, of type M(G'('t)).
 571
 572         (iii.1'') return =<< gamma b  =  gamma b
 573 </pre>
 574
 575 <pre>
 576           (iii.2) &gamma;  =  &gamma; <=< (unit G)
 577                   whenever &gamma; is a natural transformation from G to some MR'G
 578         ==>
 579                           gamma  =  gamma <=< (unit G)
 580                           whenever gamma is a function of type G('t) -> M(R'(G('t)))
 581
 582                           gamma  =  (fun b -> gamma =<< (unit G) b)
 583
 584                           As above, return will map arguments b of type G('t) to the
 585                           monadic value (unit G) b, of type M(G('t)).
 586
 587                           gamma  =  (fun b -> gamma =<< return b)
 588
 589         (iii.2'') gamma b  =  gamma =<< return b
 590 </pre>
 591
 592 Summarizing (ii''), (iii.1''), (iii.2''), these are the monadic laws as usually stated in the functional programming literature:
 593
 594 *       `(fun b -> rho =<< gamma b) =<< phi a  =  rho =<< (gamma =<< phi a)`
 595
 596         Usually written reversed, and with a monadic variable `u` standing in
 597         for `phi a`:
 598
 599         `u >>= (fun b -> gamma b >>= rho)  =  (u >>= gamma) >>= rho`
 600
 601 *       `return =<< gamma b  =  gamma b`
 602
 603         Usually written reversed, and with `u` standing in for `gamma b`:
 604
 605         `u >>= return  =  u`
 606
 607 *       `gamma b  =  gamma =<< return b`
 608
 609         Usually written reversed:
 610
 611         `return b >>= gamma  =  gamma b`
 612
 613