advanced_topics/monads_in_category_theory.mdwn

   1 Caveats
   2 -------
   3 I really don't know much category theory. Just enough to put this
   4 together. Also, this really is "put together." I haven't yet found an
   5 authoritative source (that's accessible to a category theory beginner like
   6 myself) that discusses the correspondence between the category-theoretic and
   7 functional programming uses of these notions in enough detail to be sure that
   8 none of the pieces here is mistaken.
   9 In particular, it wasn't completely obvious how to map the polymorphism on the
  10 programming theory side into the category theory. The way I accomplished this
  11 may be more complex than it needs to be.
  12 Also I'm bothered by the fact that our `<=<` operation is only partly defined
  13 on our domain of natural transformations.
  14 There are three additional points below that I wonder whether may be too
  15 cavalier.
  16 But all considered, this does seem to
  17 me to be a reasonable way to put the pieces together. We very much welcome
  18 feedback from anyone who understands these issues better, and will make
  19 corrections.
  20
  21 Thanks Wren Thornton for helpful comments on these notes (not yet incorporated).
  22
  23 [This page](http://en.wikibooks.org/wiki/Haskell/Category_theory) was a helpful starting point.
  24
  25
  26 Monoids
  27 -------
  28 A **monoid** is a structure <code>(S,&#8902;,z)</code> consisting of an associative binary operation <code>&#8902;</code> over some set `S`, which is closed under <code>&#8902;</code>, and which contains an identity element `z` for <code>&#8902;</code>. That is:
  29
  30
  31 <pre>
  32         for all s1, s2, s3 in S:
  33           (i) s1&#8902;s2 etc are also in S
  34          (ii) (s1&#8902;s2)&#8902;s3 = s1&#8902;(s2&#8902;s3)
  35         (iii) z&#8902;s1 = s1 = s1&#8902;z
  36 </pre>
  37
  38 Some examples of monoids are:
  39
  40 *       finite strings of an alphabet `A`, with <code>&#8902;</code> being concatenation and `z` being the empty string
  41 *       all functions <code>X&rarr;X</code> over a set `X`, with <code>&#8902;</code> being composition and `z` being the identity function over `X`
  42 *       the natural numbers with <code>&#8902;</code> being plus and `z` being 0 (in particular, this is a **commutative monoid**). If we use the integers, or the naturals mod n, instead of the naturals, then every element will have an inverse and so we have not merely a monoid but a **group**.
  43 *       if we let <code>&#8902;</code> be multiplication and `z` be 1, we get different monoids over the same sets as in the previous item.
  44
  45 Categories
  46 ----------
  47 A **category** is a generalization of a monoid. A category consists of a class of **elements**, and a class of **morphisms** between those elements. Morphisms are sometimes also called maps or arrows. They are something like functions (and as we'll see below, given a set of functions they'll determine a category). However, a single morphism only maps between a single source element and a single target element. Also, there can be multiple distinct morphisms between the same source and target, so the identity of a morphism goes beyond its "extension."
  48
  49 When a morphism `f` in category <b>C</b> has source `C1` and target `C2`, we'll write <code>f:C1&rarr;C2</code>.
  50
  51 To have a category, the elements and morphisms have to satisfy some constraints:
  52
  53 <pre>
  54           (i) the class of morphisms has to be closed under composition:
  55               where f:C1&rarr;C2 and g:C2&rarr;C3, g &#8728; f is also a
  56               morphism of the category, which maps C1&rarr;C3.
  57
  58          (ii) composition of morphisms has to be associative
  59
  60         (iii) every element X of the category has to have an identity
  61               morphism 1<sub>X</sub>, which is such that for every morphism f:C1&rarr;C2:
  62               1<sub>C2</sub> &#8728; f = f = f &#8728; 1<sub>C1</sub>
  63 </pre>
  64
  65 These parallel the constraints for monoids. Note that there can be multiple distinct morphisms between an element `X` and itself; they need not all be identity morphisms. Indeed from (iii) it follows that each element can have only a single identity morphism.
  66
  67 A good intuitive picture of a category is as a generalized directed graph, where the category elements are the graph's nodes, and there can be multiple directed edges between a given pair of nodes, and nodes can also have multiple directed edges to themselves. Morphisms correspond to directed paths of length &ge; 0 in the graph.
  68
  69
  70 Some examples of categories are:
  71
  72 *       Categories whose elements are sets and whose morphisms are functions between those sets. Here the source and target of a function are its domain and range, so distinct functions sharing a domain and range (e.g., `sin` and `cos`) are distinct morphisms between the same source and target elements. The identity morphism for any element/set is just the identity function for that set.
  73
  74 *       any monoid <code>(S,&#8902;,z)</code> generates a category with a single element `Q`; this `Q` need not have any relation to `S`. The members of `S` play the role of *morphisms* of this category, rather than its elements. All of these morphisms are understood to map `Q` to itself. The result of composing the morphism consisting of `s1` with the morphism `s2` is the morphism `s3`, where <code>s3=s1&#8902;s2</code>. The identity morphism for the (single) category element `Q` is the monoid's identity `z`.
  75
  76 *       a **preorder** is a structure <code>(S, &le;)</code> consisting of a reflexive, transitive, binary relation on a set `S`. It need not be connected (that is, there may be members `s1`,`s2` of `S` such that neither <code>s1 &le; s2</code> nor <code>s2 &le; s1</code>). It need not be anti-symmetric (that is, there may be members `s1`,`s2` of `S` such that <code>s1 &le; s2</code> and <code>s2 &le; s1</code> but `s1` and `s2` are not identical). Some examples:
  77
  78         *       sentences ordered by logical implication ("p and p" implies and is implied by "p", but these sentences are not identical; so this illustrates a pre-order without anti-symmetry)
  79         *       sets ordered by size (this illustrates it too)
  80
  81         Any pre-order <code>(S,&le;)</code> generates a category whose elements are the members of `S` and which has only a single morphism between any two elements `s1` and `s2`, iff <code>s1 &le; s2</code>.
  82
  83
  84 Functors
  85 --------
  86 A **functor** is a "homomorphism", that is, a structure-preserving mapping, between categories. In particular, a functor `F` from category <b>C</b> to category <b>D</b> must:
  87
  88 <pre>
  89           (i) associate with every element C1 of <b>C</b> an element F(C1) of <b>D</b>
  90
  91          (ii) associate with every morphism f:C1&rarr;C2 of <b>C</b> a morphism F(f):F(C1)&rarr;F(C2) of <b>D</b>
  92
  93         (iii) "preserve identity", that is, for every element C1 of <b>C</b>:
  94               F of C1's identity morphism in <b>C</b> must be the identity morphism of F(C1) in <b>D</b>:
  95               F(1<sub>C1</sub>) = 1<sub>F(C1)</sub>.
  96
  97          (iv) "distribute over composition", that is for any morphisms f and g in <b>C</b>:
  98               F(g &#8728; f) = F(g) &#8728; F(f)
  99 </pre>
 100
 101 A functor that maps a category to itself is called an **endofunctor**. The (endo)functor that maps every element and morphism of <b>C</b> to itself is denoted `1C`.
 102
 103 How functors compose: If `G` is a functor from category <b>C</b> to category <b>D</b>, and `K` is a functor from category <b>D</b> to category <b>E</b>, then `KG` is a functor which maps every element `C1` of <b>C</b> to element `K(G(C1))` of <b>E</b>, and maps every morphism `f` of <b>C</b> to morphism `K(G(f))` of <b>E</b>.
 104
 105 I'll assert without proving that functor composition is associative.
 106
 107
 108
 109 Natural Transformation
 110 ----------------------
 111 So categories include elements and morphisms. Functors consist of mappings from the elements and morphisms of one category to those of another (or the same) category. **Natural transformations** are a third level of mappings, from one functor to another.
 112
 113 Where `G` and `H` are functors from category <b>C</b> to category <b>D</b>, a natural transformation &eta; between `G` and `H` is a family of morphisms <code>&eta;[C1]:G(C1)&rarr;H(C1)</code> in <b>D</b> for each element `C1` of <b>C</b>. That is, <code>&eta;[C1]</code> has as source `C1`'s image under `G` in <b>D</b>, and as target `C1`'s image under `H` in <b>D</b>. The morphisms in this family must also satisfy the constraint:
 114
 115 <pre>
 116         for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>:
 117         &eta;[C2] &#8728; G(f) = H(f) &#8728; &eta;[C1]
 118 </pre>
 119
 120 That is, the morphism via `G(f)` from `G(C1)` to `G(C2)`, and then via <code>&eta;[C2]</code> to `H(C2)`, is identical to the morphism from `G(C1)` via <code>&eta;[C1]</code> to `H(C1)`, and then via `H(f)` from `H(C1)` to `H(C2)`.
 121
 122
 123 How natural transformations compose:
 124
 125 Consider four categories <b>B</b>, <b>C</b>, <b>D</b>, and <b>E</b>. Let `F` be a functor from <b>B</b> to <b>C</b>; `G`, `H`, and `J` be functors from <b>C</b> to <b>D</b>; and `K` and `L` be functors from <b>D</b> to <b>E</b>. Let &eta; be a natural transformation from `G` to `H`; &phi; be a natural transformation from `H` to `J`; and &psi; be a natural transformation from `K` to `L`. Pictorally:
 126
 127 <pre>
 128         - <b>B</b> -+ +--- <b>C</b> --+ +---- <b>D</b> -----+ +-- <b>E</b> --
 129                  | |        | |            | |
 130          F: ------> G: ------>     K: ------>
 131                  | |        | |  | &eta;       | |  | &psi;
 132                  | |        | |  v         | |  v
 133                  | |    H: ------>     L: ------>
 134                  | |        | |  | &phi;       | |
 135                  | |        | |  v         | |
 136                  | |    J: ------>         | |
 137         -----+ +--------+ +------------+ +-------
 138 </pre>
 139
 140 Then <code>(&eta; F)</code> is a natural transformation from the (composite) functor `GF` to the composite functor `HF`, such that where `B1` is an element of category <b>B</b>, <code>(&eta; F)[B1] = &eta;[F(B1)]</code>---that is, the morphism in <b>D</b> that <code>&eta;</code> assigns to the element `F(B1)` of <b>C</b>.
 141
 142 And <code>(K &eta;)</code> is a natural transformation from the (composite) functor `KG` to the (composite) functor `KH`, such that where `C1` is an element of category <b>C</b>, <code>(K &eta;)[C1] = K(&eta;[C1])</code>---that is, the morphism in <b>E</b> that `K` assigns to the morphism <code>&eta;[C1]</code> of <b>D</b>.
 143
 144
 145 <code>(&phi; -v- &eta;)</code> is a natural transformation from `G` to `J`; this is known as a "vertical composition". For any morphism <code>f:C1&rarr;C2</code> in <b>C</b>:
 146
 147 <pre>
 148         &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1] = &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1]
 149 </pre>
 150
 151 by naturalness of <code>&phi;</code>, is:
 152
 153 <pre>
 154         &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1] = J(f) &#8728; &phi;[C1] &#8728; &eta;[C1]
 155 </pre>
 156
 157 by naturalness of <code>&eta;</code>, is:
 158
 159 <pre>
 160         &phi;[C2] &#8728; &eta;[C2] &#8728; G(f) = J(f) &#8728; &phi;[C1] &#8728; &eta;[C1]
 161 </pre>
 162
 163 Hence, we can define <code>(&phi; -v- &eta;)[\_]</code> as: <code>&phi;[\_] &#8728; &eta;[\_]</code> and rely on it to satisfy the constraints for a natural transformation from `G` to `J`:
 164
 165 <pre>
 166         (&phi; -v- &eta;)[C2] &#8728; G(f) = J(f) &#8728; (&phi; -v- &eta;)[C1]
 167 </pre>
 168
 169 An observation we'll rely on later: given the definitions of vertical composition and of how natural transformations compose with functors, it follows that:
 170
 171 <pre>
 172         ((&phi; -v- &eta;) F) = ((&phi; F) -v- (&eta; F))
 173 </pre>
 174
 175 I'll assert without proving that vertical composition is associative and has an identity, which we'll call "the identity transformation."
 176
 177
 178 <code>(&psi; -h- &eta;)</code> is natural transformation from the (composite) functor `KG` to the (composite) functor `LH`; this is known as a "horizontal composition." It's trickier to define, but we won't be using it here. For reference:
 179
 180 <pre>
 181         (&phi; -h- &eta;)[C1]  =  L(&eta;[C1]) &#8728; &psi;[G(C1)]
 182                                    =  &psi;[H(C1)] &#8728; K(&eta;[C1])
 183 </pre>
 184
 185 Horizontal composition is also associative, and has the same identity as vertical composition.
 186
 187
 188
 189 Monads
 190 ------
 191 In earlier days, these were also called "triples."
 192
 193 A **monad** is a structure consisting of an (endo)functor `M` from some category <b>C</b> to itself, along with some natural transformations, which we'll specify in a moment.
 194
 195 Let `T` be a set of natural transformations <code>&phi;</code>, each being between some arbitrary endofunctor `F` on <b>C</b> and another functor which is the composite `MF'` of `M` and another arbitrary endofunctor `F'` on <b>C</b>. That is, for each element `C1` in <b>C</b>, <code>&phi;</code> assigns `C1` a morphism from element `F(C1)` to element `MF'(C1)`, satisfying the constraints detailed in the previous section. For different members of `T`, the relevant functors may differ; that is, <code>&phi;</code> is a transformation from functor `F` to `MF'`, <code>&gamma;</code> is a transformation from functor `G` to `MG'`, and none of `F`, `F'`, `G`, `G'` need be the same.
 196
 197 One of the members of `T` will be designated the `unit` transformation for `M`, and it will be a transformation from the identity functor `1C` for <b>C</b> to `M(1C)`. So it will assign to `C1` a morphism from `C1` to `M(C1)`.
 198
 199 We also need to designate for `M` a `join` transformation, which is a natural transformation from the (composite) functor `MM` to `M`.
 200
 201 These two natural transformations have to satisfy some constraints ("the monad laws") which are most easily stated if we can introduce a defined notion.
 202
 203 Let <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> be members of `T`, that is they are natural transformations from `F` to `MF'` and from `G` to `MG'`, respectively. Let them be such that `F' = G`. Now <code>(M &gamma;)</code> will also be a natural transformation, formed by composing the functor `M` with the natural transformation <code>&gamma;</code>. Similarly, `(join G')` will be a natural transformation, formed by composing the natural transformation `join` with the functor `G'`; it will transform the functor `MMG'` to the functor `MG'`. Now take the vertical composition of the three natural transformations `(join G')`, <code>(M &gamma;)</code>, and <code>&phi;</code>, and abbreviate it as follows. Since composition is associative I don't specify the order of composition on the rhs.
 204
 205 <pre>
 206         &gamma; <=< &phi;  =def.  ((join G') -v- (M &gamma;) -v- &phi;)
 207 </pre>
 208
 209 In other words, `<=<` is a binary operator that takes us from two members <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> of `T` to a composite natural transformation. (In functional programming, at least, this is called the "Kleisli composition operator". Sometimes it's written <code>&phi; >=> &gamma;</code> where that's the same as <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code>.)
 210
 211 <code>&phi;</code> is a transformation from `F` to `MF'`, where the latter = `MG`; <code>(M &gamma;)</code> is a transformation from `MG` to `MMG'`; and `(join G')` is a transformation from `MMG'` to `MG'`. So the composite <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> will be a transformation from `F` to `MG'`, and so also eligible to be a member of `T`.
 212
 213 Now we can specify the "monad laws" governing a monad as follows:
 214
 215 <pre>
 216         (T, <=<, unit) constitute a monoid
 217 </pre>
 218
 219 That's it. Well, there may be a wrinkle here. I don't know whether the definition of a monoid requires the operation to be defined for every pair in its set. In the present case, <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> isn't fully defined on `T`, but only when <code>&phi;</code> is a transformation to some `MF'` and <code>&gamma;</code> is a transformation from `F'`. But wherever `<=<` is defined, the monoid laws must hold:
 220
 221 <pre>
 222             (i) &gamma; <=< &phi; is also in T
 223
 224            (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 225
 226         (iii.1) unit <=< &phi;  =  &phi;
 227                 (here &phi; has to be a natural transformation to M(1C))
 228
 229         (iii.2)                &rho;  =  &rho; <=< unit
 230                 (here &rho; has to be a natural transformation from 1C)
 231 </pre>
 232
 233 If <code>&phi;</code> is a natural transformation from `F` to `M(1C)` and <code>&gamma;</code> is <code>(&phi; G')</code>, that is, a natural transformation from `FG'` to `MG'`, then we can extend (iii.1) as follows:
 234
 235 <pre>
 236         &gamma; = (&phi; G')
 237           = ((unit <=< &phi;) G')
 238           since unit is a natural transformation to M(1C), this is:
 239           = (((join 1C) -v- (M unit) -v- &phi;) G')
 240           = (((join 1C) G') -v- ((M unit) G') -v- (&phi; G'))
 241           = ((join (1C G')) -v- (M (unit G')) -v- &gamma;)
 242           = ((join G') -v- (M (unit G')) -v- &gamma;)
 243           since (unit G') is a natural transformation to MG', this is:
 244           = (unit G') <=< &gamma;
 245 </pre>
 246
 247 where as we said <code>&gamma;</code> is a natural transformation from some `FG'` to `MG'`.
 248
 249 Similarly, if <code>&rho;</code> is a natural transformation from `1C` to `MR'`, and <code>&gamma;</code> is <code>(&rho; G)</code>, that is, a natural transformation from `G` to `MR'G`, then we can extend (iii.2) as follows:
 250
 251 <pre>
 252         &gamma; = (&rho; G)
 253           = ((&rho; <=< unit) G)
 254           = since &rho; is a natural transformation to MR', this is:
 255           = (((join R') -v- (M &rho;) -v- unit) G)
 256           = (((join R') G) -v- ((M &rho;) G) -v- (unit G))
 257           = ((join (R'G)) -v- (M (&rho; G)) -v- (unit G))
 258           since &gamma; = (&rho; G) is a natural transformation to MR'G, this is:
 259           = &gamma; <=< (unit G)
 260 </pre>
 261
 262 where as we said <code>&gamma;</code> is a natural transformation from `G` to some `MR'G`.
 263
 264 Summarizing then, the monad laws can be expressed as:
 265
 266 <pre>
 267         For all &rho;, &gamma;, &phi; in T for which &rho; <=< &gamma; and &gamma; <=< &phi; are defined:
 268
 269             (i) &gamma; <=< &phi; etc are also in T
 270
 271            (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 272
 273         (iii.1) (unit G') <=< &gamma;  =  &gamma;
 274                 whenever &gamma; is a natural transformation from some FG' to MG'
 275
 276         (iii.2)                     &gamma;  =  &gamma; <=< (unit G)
 277                 whenever &gamma; is a natural transformation from G to some MR'G
 278 </pre>
 279
 280
 281
 282 Getting to the standard category-theory presentation of the monad laws
 283 ----------------------------------------------------------------------
 284 In category theory, the monad laws are usually stated in terms of `unit` and `join` instead of `unit` and `<=<`.
 285
 286 <!--
 287         P2. every element C1 of a category <b>C</b> has an identity morphism 1<sub>C1</sub> such that for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>: 1<sub>C2</sub> &#8728; f = f = f &#8728; 1<sub>C1</sub>.
 288         P3. functors "preserve identity", that is for every element C1 in F's source category: F(1<sub>C1</sub>) = 1<sub>F(C1)</sub>.
 289 -->
 290
 291 Let's remind ourselves of principles stated above:
 292
 293 *       composition of morphisms, functors, and natural compositions is associative
 294
 295 *       functors "distribute over composition", that is for any morphisms `f` and `g` in `F`'s source category: <code>F(g &#8728; f) = F(g) &#8728; F(f)</code>
 296
 297 *       if <code>&eta;</code> is a natural transformation from `G` to `H`, then for every <code>f:C1&rarr;C2</code> in `G` and `H`'s source category <b>C</b>: <code>&eta;[C2] &#8728; G(f) = H(f) &#8728; &eta;[C1]</code>.
 298
 299 *       <code>(&eta; F)[X] = &eta;[F(X)]</code>
 300
 301 *       <code>(K &eta;)[X] = K(&eta;[X])</code>
 302
 303 *       <code>((&phi; -v- &eta;) F) = ((&phi; F) -v- (&eta; F))</code>
 304
 305 Let's use the definitions of naturalness, and of composition of natural transformations, to establish two lemmas.
 306
 307
 308 Recall that `join` is a natural transformation from the (composite) functor `MM` to `M`. So for elements `C1` in <b>C</b>, `join[C1]` will be a morphism from `MM(C1)` to `M(C1)`. And for any morphism <code>f:C1&rarr;C2</code> in <b>C</b>:
 309
 310 <pre>
 311         (1) join[C2] &#8728; MM(f)  =  M(f) &#8728; join[C1]
 312 </pre>
 313
 314 Next, let <code>&gamma;</code> be a transformation from `G` to `MG'`, and
 315  consider the composite transformation <code>((join MG') -v- (MM &gamma;))</code>.
 316
 317 *       <code>&gamma;</code> assigns elements `C1` in <b>C</b> a morphism <code>&gamma;\*:G(C1) &rarr; MG'(C1)</code>. <code>(MM &gamma;)</code> is a transformation that instead assigns `C1` the morphism <code>MM(&gamma;\*)</code>.
 318
 319 *       `(join MG')` is a transformation from `MM(MG')` to `M(MG')` that assigns `C1` the morphism `join[MG'(C1)]`.
 320
 321 Composing them:
 322
 323 <pre>
 324         (2) ((join MG') -v- (MM &gamma;)) assigns to C1 the morphism join[MG'(C1)] &#8728; MM(&gamma;*).
 325 </pre>
 326
 327 Next, consider the composite transformation <code>((M &gamma;) -v- (join G))</code>:
 328
 329 <pre>
 330         (3) ((M &gamma;) -v- (join G)) assigns to C1 the morphism M(&gamma;*) &#8728; join[G(C1)].
 331 </pre>
 332
 333 So for every element `C1` of <b>C</b>:
 334
 335 <pre>
 336         ((join MG') -v- (MM &gamma;))[C1], by (2) is:
 337         join[MG'(C1)] &#8728; MM(&gamma;*), which by (1), with f=&gamma;*:G(C1)&rarr;MG'(C1) is:
 338         M(&gamma;*) &#8728; join[G(C1)], which by 3 is:
 339         ((M &gamma;) -v- (join G))[C1]
 340 </pre>
 341
 342 So our **(lemma 1)** is:
 343
 344 <pre>
 345         ((join MG') -v- (MM &gamma;))  =  ((M &gamma;) -v- (join G)),
 346         where as we said &gamma; is a natural transformation from G to MG'.
 347 </pre>
 348
 349
 350 Next recall that `unit` is a natural transformation from `1C` to `M`. So for elements `C1` in <b>C</b>, `unit[C1]` will be a morphism from `C1` to `M(C1)`. And for any morphism <code>f:C1&rarr;C2</code> in <b>C</b>:
 351
 352 <pre>
 353         (4) unit[C2] &#8728; f = M(f) &#8728; unit[C1]
 354 </pre>
 355
 356 Next, consider the composite transformation <code>((M &gamma;) -v- (unit G))</code>:
 357
 358 <pre>
 359         (5) ((M &gamma;) -v- (unit G)) assigns to C1 the morphism M(&gamma;*) &#8728; unit[G(C1)].
 360 </pre>
 361
 362 Next, consider the composite transformation <code>((unit MG') -v- &gamma;)</code>:
 363
 364 <pre>
 365         (6) ((unit MG') -v- &gamma;) assigns to C1 the morphism unit[MG'(C1)] &#8728; &gamma;*.
 366 </pre>
 367
 368 So for every element C1 of <b>C</b>:
 369
 370 <pre>
 371         ((M &gamma;) -v- (unit G))[C1], by (5) =
 372         M(&gamma;*) &#8728; unit[G(C1)], which by (4), with f=&gamma;*:G(C1)&rarr;MG'(C1) is:
 373         unit[MG'(C1)] &#8728; &gamma;*, which by (6) =
 374         ((unit MG') -v- &gamma;)[C1]
 375 </pre>
 376
 377 So our **(lemma 2)** is:
 378
 379 <pre>
 380         (((M &gamma;) -v- (unit G))  =  ((unit MG') -v- &gamma;)),
 381         where as we said &gamma; is a natural transformation from G to MG'.
 382 </pre>
 383
 384
 385 Finally, we substitute <code>((join G') -v- (M &gamma;) -v- &phi;)</code> for <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> in the monad laws. For simplicity, I'll omit the "-v-".
 386
 387 <pre>
 388         For all &rho;, &gamma;, &phi; in T,
 389         where &phi; is a transformation from F to MF',
 390         &gamma; is a transformation from G to MG',
 391         &rho; is a transformation from R to MR',
 392         and F'=G and G'=R:
 393
 394              (i) &gamma; <=< &phi; etc are also in T
 395         ==>
 396             (i') ((join G') (M &gamma;) &phi;) etc are also in T
 397 </pre>
 398
 399 <pre>
 400             (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 401         ==>
 402                      (&rho; <=< &gamma;) is a transformation from G to MR', so
 403                          (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi; becomes: ((join R') (M (&rho; <=< &gamma;)) &phi;)
 404                                                         which is: ((join R') (M ((join R') (M &rho;) &gamma;)) &phi;)
 405
 406                          similarly, &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;) is:
 407                                                         ((join R') (M &rho;) ((join G') (M &gamma;) &phi;))
 408
 409                          substituting these into (ii), and helping ourselves to associativity on the rhs, we get:
 410                  ((join R') (M ((join R') (M &rho;) &gamma;)) &phi;) = ((join R') (M &rho;) (join G') (M &gamma;) &phi;)
 411
 412                          which by the distributivity of functors over composition, and helping ourselves to associativity on the lhs, yields:
 413                  ((join R') (M join R') (MM &rho;) (M &gamma;) &phi;) = ((join R') (M &rho;) (join G') (M &gamma;) &phi;)
 414
 415                          which by lemma 1, with &rho; a transformation from G' to MR', yields:
 416                  ((join R') (M join R') (MM &rho;) (M &gamma;) &phi;) = ((join R') (join MR') (MM &rho;) (M &gamma;) &phi;)
 417
 418                          [-- Are the next two steps too cavalier? --]
 419
 420                          which will be true for all &rho;, &gamma;, &phi; only when:
 421                  ((join R') (M join R')) = ((join R') (join MR')), for any R'
 422
 423                          which will in turn be true when:
 424        (ii') (join (M join)) = (join (join M))
 425 </pre>
 426
 427 <pre>
 428          (iii.1) (unit G') <=< &gamma;  =  &gamma;
 429                  when &gamma; is a natural transformation from some FG' to MG'
 430         ==>
 431                          (unit G') is a transformation from G' to MG', so:
 432                          (unit G') <=< &gamma; becomes: ((join G') (M (unit G')) &gamma;)
 433                                               which is: ((join G') ((M unit) G') &gamma;)
 434
 435                          substituting in (iii.1), we get:
 436                          ((join G') ((M unit) G') &gamma;) = &gamma;
 437
 438                          which is:
 439                          (((join (M unit)) G') &gamma;) = &gamma;
 440
 441                          [-- Are the next two steps too cavalier? --]
 442
 443                          which will be true for all &gamma; just in case:
 444                          for any G', ((join (M unit)) G') = the identity transformation
 445
 446                          which will in turn be true just in case:
 447         (iii.1') (join (M unit)) = the identity transformation
 448 </pre>
 449
 450 <pre>
 451          (iii.2) &gamma;  =  &gamma; <=< (unit G)
 452                  when &gamma; is a natural transformation from G to some MR'G
 453         ==>
 454                          &gamma; <=< (unit G) becomes: ((join R'G) (M &gamma;) (unit G))
 455
 456                          substituting in (iii.2), we get:
 457                          &gamma; = ((join R'G) (M &gamma;) (unit G))
 458
 459                          which by lemma 2, yields:
 460                          &gamma; = (((join R'G) ((unit MR'G) &gamma;)
 461
 462                          which is:
 463                          &gamma; = (((join (unit M)) R'G) &gamma;)
 464
 465                          [-- Are the next two steps too cavalier? --]
 466
 467                           which will be true for all &gamma; just in case:
 468                          for any R'G, ((join (unit M)) R'G) = the identity transformation
 469
 470                          which will in turn be true just in case:
 471         (iii.2') (join (unit M)) = the identity transformation
 472 </pre>
 473
 474
 475 Collecting the results, our monad laws turn out in this format to be:
 476
 477 <pre>
 478         For all &rho;, &gamma;, &phi; in T,
 479         where &phi; is a transformation from F to MF',
 480         &gamma; is a transformation from G to MG',
 481         &rho; is a transformation from R to MR',
 482         and F'=G and G'=R:
 483
 484             (i') ((join G') (M &gamma;) &phi;) etc also in T
 485
 486            (ii') (join (M join)) = (join (join M))
 487
 488         (iii.1') (join (M unit)) = the identity transformation
 489
 490         (iii.2') (join (unit M)) = the identity transformation
 491 </pre>
 492
 493 In category-theory presentations, you may see `unit` referred to as <code>&eta;</code>, and `join` referred to as <code>&mu;</code>. Also, instead of the monad `(M, unit, join)`, you may sometimes see discussion of the "Kleisli triple" `(M, unit, =<<)`. Alternatively, `=<<` may be called <code>&#8902;</code>. These are interdefinable (see below).
 494
 495
 496 Getting to the functional programming presentation of the monad laws
 497 --------------------------------------------------------------------
 498 In functional programming, `unit` is sometimes called `return` and the monad laws are usually stated in terms of `unit`/`return` and an operation called `bind` which is interdefinable with `<=<` or with `join`.
 499
 500 The base category <b>C</b> will have types as elements, and monadic functions as its morphisms. The source and target of a morphism will be the types of its argument and its result. (As always, there can be multiple distinct morphisms from the same source to the same target.)
 501
 502 A monad `M` will consist of a mapping from types `'t` to types `M('t)`, and a mapping from functions <code>f:C1&rarr;C2</code> to functions <code>M(f):M(C1)&rarr;M(C2)</code>. This is also known as <code>lift<sub>M</sub> f</code> for `M`, and is pronounced "function f lifted into the monad M." For example, where `M` is the List monad, `M` maps every type `'t` into the type `'t list`, and maps every function <code>f:x&rarr;y</code> into the function that maps `[x1,x2...]` to `[y1,y2,...]`.
 503
 504
 505 In functional programming, instead of working with natural transformations we work with "monadic values" and polymorphic functions "into the monad."
 506
 507 A "monadic value" is any member of a type `M('t)`, for any type `'t`. For example, any `int list` is a monadic value for the List monad. We can think of these monadic values as the result of applying some function `phi`, whose type is `F('t) -> M(F'('t))`. `'t` here is any collection of free type variables, and `F('t)` and `F'('t)` are types parameterized on `'t`. An example, with `M` being the List monad, `'t` being `('t1,'t2)`, `F('t1,'t2)` being `char * 't1 * 't2`, and `F'('t1,'t2)` being `int * 't1 * 't2`:
 508
 509 <pre>
 510         let phi = fun ((_:char), x, y) -> [(1,x,y),(2,x,y)]
 511 </pre>
 512
 513 [-- I intentionally chose this polymorphic function because simpler ways of mapping the polymorphic monad operations from functional programming onto the category theory notions can't accommodate it. We have all the F, MF' (unit G') and so on in order to be able to be handle even phis like this. --]
 514
 515
 516 Now where `gamma` is another function of type <code>F'('t) -> M(G'('t))</code>, we define:
 517
 518 <pre>
 519         gamma =<< phi a  =def. ((join G') -v- (M gamma)) (phi a)
 520                          = ((join G') -v- (M gamma) -v- phi) a
 521                                          = (gamma <=< phi) a
 522 </pre>
 523
 524 Hence:
 525
 526 <pre>
 527         gamma <=< phi = (fun a -> gamma =<< phi a)
 528 </pre>
 529
 530 `gamma =<< phi a` is called the operation of "binding" the function gamma to the monadic value `phi a`, and is usually written as `phi a >>= gamma`.
 531
 532 With these definitions, our monadic laws become:
 533
 534
 535 <pre>
 536         Where phi is a polymorphic function of type F('t) -> M(F'('t))
 537         gamma is a polymorphic function of type G('t) -> M(G'('t))
 538         rho is a polymorphic function of type R('t) -> M(R'('t))
 539         and F' = G and G' = R,
 540         and a ranges over values of type F('t),
 541         and b ranges over values of type G('t),
 542         and c ranges over values of type G'('t):
 543
 544               (i) &gamma; <=< &phi; is defined,
 545                           and is a natural transformation from F to MG'
 546         ==>
 547                 (i'') fun a -> gamma =<< phi a is defined,
 548                           and is a function from type F('t) -> M(G'('t))
 549 </pre>
 550
 551 <pre>
 552              (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
 553         ==>
 554                           (fun a -> (rho <=< gamma) =<< phi a)  =  (fun a -> rho =<< (gamma <=< phi) a)
 555                           (fun a -> (fun b -> rho =<< gamma b) =<< phi a)  =
 556                                                       (fun a -> rho =<< (gamma =<< phi a))
 557
 558            (ii'') (fun b -> rho =<< gamma b) =<< phi a  =  rho =<< (gamma =<< phi a)
 559 </pre>
 560
 561 <pre>
 562           (iii.1) (unit G') <=< &gamma;  =  &gamma;
 563                   whenever &gamma; is a natural transformation from some FG' to MG'
 564         ==>
 565                           (unit G') <=< gamma  =  gamma
 566                           whenever gamma is a function of type F(G'('t)) -> M(G'('t))
 567
 568                           (fun b -> (unit G') =<< gamma b)  =  gamma
 569
 570                           (unit G') =<< gamma b  =  gamma b
 571
 572                           Let return be a polymorphic function mapping arguments of any
 573                           type 't to M('t). In particular, it maps arguments c of type
 574                           G'('t) to the monadic value (unit G') c, of type M(G'('t)).
 575
 576         (iii.1'') return =<< gamma b  =  gamma b
 577 </pre>
 578
 579 <pre>
 580           (iii.2) &gamma;  =  &gamma; <=< (unit G)
 581                   whenever &gamma; is a natural transformation from G to some MR'G
 582         ==>
 583                           gamma  =  gamma <=< (unit G)
 584                           whenever gamma is a function of type G('t) -> M(R'(G('t)))
 585
 586                           gamma  =  (fun b -> gamma =<< (unit G) b)
 587
 588                           As above, return will map arguments b of type G('t) to the
 589                           monadic value (unit G) b, of type M(G('t)).
 590
 591                           gamma  =  (fun b -> gamma =<< return b)
 592
 593         (iii.2'') gamma b  =  gamma =<< return b
 594 </pre>
 595
 596 Summarizing (ii''), (iii.1''), (iii.2''), these are the monadic laws as usually stated in the functional programming literature:
 597
 598 *       `(fun b -> rho =<< gamma b) =<< phi a  =  rho =<< (gamma =<< phi a)`
 599
 600         Usually written reversed, and with a monadic variable `u` standing in
 601         for `phi a`:
 602
 603         `u >>= (fun b -> gamma b >>= rho)  =  (u >>= gamma) >>= rho`
 604
 605 *       `return =<< gamma b  =  gamma b`
 606
 607         Usually written reversed, and with `u` standing in for `gamma b`:
 608
 609         `u >>= return  =  u`
 610
 611 *       `gamma b  =  gamma =<< return b`
 612
 613         Usually written reversed:
 614
 615         `return b >>= gamma  =  gamma b`
 616
 617